2022 Fiscal Year Research-status Report
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19K14536
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| Research Institution | University of the Ryukyus |
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Principal Investigator |
松下 尚弘 琉球大学, 理学部, 助教 (30812292)
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2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 彩色数 / 近傍複体 / 単体複体 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は、グラフの Hedetniemi 予想の幾何学的応用、および相対的幽霊写像の研究である。 Hedetniemi 予想は当該年度中に Shitov により解決され、本研究の方向性を変更することになった。より広く、グラフの彩色問題への幾何学的応用として、 Kneser グラフと Kronecker 二重被覆が同型であるにもかかわらず、元のグラフが同型でないようなグラフの族を決定し、それらの彩色数を決定した。この研究成果は近傍複体の彩色数決定の応用としては、特筆すべきものである。また九州大学の岸本大祐氏との共同研究により、彩色問題への幾何学的応用と関連が深い、 van Kampen-Flores の定理の一般化をすることができた。
相対的幽霊写像については、主に有理ホモトピー論の観点から研究を推し進めた。相対的幽霊写像の定義を書く。位相空間 X から位相空間 Y への連続写像 p が与えられたとき、 CW-複体 A から Y への連続写像 f が p に関する相対的幽霊写像であるとは、 f を A の有限次元部分複体に制限したとき、 A を経由する写像とホモトピックであることをいう。特に A が一点空間であるときは、これは f を有限次元複体に制限したときヌルホモトピックになるということを意味し、これは通常の幽霊写像に相当する。
相対的幽霊写像に関する本研究での研究成果は、 p が有理ホモトピー同値であるとき、非自明な相対的幽霊写像が存在しないことを示したことである。また McGibbon-Roitberg における通常の幽霊写像の結果を、相対的幽霊写像の場合に拡張することに成功した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Hedetniemi 予想に関する研究においては、 Shitov により Hedetniemi 予想が解決されたため、本研究の目的の方向性を変更する必要性が生じたものの、グラフの彩色問題への幾何学的応用という観点からすれば一定の成果を上げることができている。相対的幽霊写像に関しても、有理ホモトピー論の観点からの研究をし、論文としてまとめることができた。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後は、彩色問題への幾何学的応用と関連が深い、位相的 Tverberg の定理と van Kampen-Flores の定理の一般化を考える。 van Kampen-Flores の定理は(2d+2)-単体のd-骨格が2d次元のユークリッド空間に位相的に埋め込むことができないという定理である。一般に、単体複体のd-骨格が2d次元のユークリッド空間に埋め込むことができないという主張のことを、 van Kampen-Flores 型の定理ということが多い。最近の我々の研究により、(2d+1)-次元微分可能多様体Mであって、全 Stiefel-Whitney 類が自明でないものに対しては、Mのどのような三角形分割に対しても、そのd-骨格が2d次元のユークリッド空間に埋め込めないことがわかった。一方で、この「全Stiefel-Whitney類が自明でない」という条件は不要と思える。そこで、van Kampen-Flores 型の定理を、多様体の三角形分割に対して拡張するという研究を、今後も進めていきたい。そして、得られた van Kampen-Flores 型の定理の彩色問題への応用を考えたい。
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルスによる移動制限で、出張の回数が少なくなったため、次年度使用額が生じた。次年度使用額は、次年度に参加する研究集会の費用として使用する。
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