2023 Fiscal Year Annual Research Report
| Project/Area Number |
19K14536
|
|---|
| Research Institution | Shinshu University |
|---|
Principal Investigator |
松下 尚弘 信州大学, 学術研究院理学系, 准教授 (30812292)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
|
| Keywords | 彩色数 / 近傍複体 / 単体複体 / 埋め込み / 支配複体 / 独立複体 / 彩色埋め込み定理 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
本年度の本助成金に関連する研究として支配複体の研究 van Kampen-Flores の定理の一般化についての研究がある。
まず支配複体の研究について述べる。頂点集合の部分集合 S が支配的であるとは、 S の元の閉近傍全体の和集合が G の頂点集合に一致するもののことである。 G の頂点集合の部分集合で、補集合が支配的であるもの全体は抽象的単体複体となる、それを支配複体D(G)という。本研究において、支配複体D(G)が近傍複体N(G)と密接に関係することがわかった。ここで近傍複体とは開近傍で生成される抽象的単体複体のこどであり、N(G)は Lovasz による Kneser 予想解決に導入されて以来、グラフの彩色問題と関係することがわかり、位相的組合せ論において盛んに研究がなされている対象である。本年度の研究において、支配複体とは、補グラフの近傍複体の組合せ論的アレクサンダー双対と同型であることがわかった。これにより、支配複体のZ/2-係数ホモロジーと、彩色数との関係性がわかった。
続いて van Kampen-Flores の定理の一般化の研究について述べる。van Kampen-Flores の定理は(2d+2)-単体の d-骨格が R^{2d} に埋め込むことができないという定理である。 van Kampen-Flores の定理は Sarkaria の彩色埋め込み定理を介して、グラフの彩色問題と関係することが知られており、位相的組合せ論においてもよく研究されている。本研究では、多様体の三角形分割に対して、 van Kampen-Flores の定理と類似の現象が成立することを述べた。すなわち、 (2d+1)-次元の微分可能多様体の三角形分割で、全 Stiefel-Whitney 類が非自明な場合、その d-骨格がR^{2d}に埋め込めないことがわかった。
|
