2021 Fiscal Year Research-status Report
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19K14537
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| Research Institution | Naruto University of Education |
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Principal Investigator |
山中 仁 鳴門教育大学, 大学院学校教育研究科, 講師 (90725011)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | GKM理論 / Schubert多様体 / 一般トーラス軌道閉包 / Poincare多項式 / parindromicity / 同変コホモロジー / Kazhdan-Lusztig多項式 / GKMグラフ |
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| Outline of Annual Research Achievements |
昨年度、GKMグラフの幾何的な同変コホモロジー剛性に関する結果を得、それを査読雑誌に投稿していたが、今年度、この論文が査読雑誌に受理され、掲載された。
2021年度に行った研究として、Schubert多様体の一般トーラス軌道閉包(以下、GTOCと略記)に関する考察を引き続き行った。当初は幾何学的表現論的な観点から考察を進めていたが、これとは別に以前より考えていたこととトーラス同変コホモロジーに関するいくつかの先行研究のつながりに気付いたことが契機となって考察が進展し、GTOCのPoincare多項式のpalindromicityとGTOCの代数多様体としての非特異性が同値であるというLee-Masudaの予想を解決することができた。これで、残る予想は、GTOCの固定点でBruhat順序に関して最大である点におけるGTOCの非特異性とGTOCの代数多様体としての非特異性が同値であるという予想のみとなった。これが証明できれば、少なくともトポロジーと代数幾何の観点からはGTOCはSchubert多様体の良いトーリック類似であることが実証される。この最後の予想に関してはSchubert多様体の場合の証明も易しくはなく、Kazhdan-Lusztig多項式に依拠した議論により証明されていることから、GTOCに対してもKazhdan-Lusztig多項式の累次に相当する理論を構築する必要性が示唆される。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Schubert多様体のGTOCのPoincare多項式のpalindromicityとGTOCの非特異性が同値であることが示せたことから、GTOCの理論が進展し、Schubert多様体との類似性の実証に向けて歩を進めることができた。また、昨年度投稿した論文が査読雑誌に掲載された。
以上から、おおむね順調に進展していると判断した。
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| Strategy for Future Research Activity |
「研究実績の概要」でも触れたが、残りの予想を解決するには、Kazhdan-Lusztig多項式の類似の構築、あるいは特異多様体の場合にGKMグラフの接続の概念を拡張する必要があると予測される。Kazhdan-Lusztig多項式は局所交叉コホモロジー(ないし、モーメントグラフ)の言葉で言い表せるため、組み合わせ的には、GTOCの場合にもKazhdan-Lusztig多項式の定義があると言えばある。そこで、この観点から研究を行うことで、残るの予想の解決を試みる。
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| Causes of Carryover |
今年度もCovid-19の影響で予定していたような出費がかなわなかった。そのため、次年度に繰り越すことにより、後日を期すこととした。持ち越された分は、次年度のCovid-19の影響を勘案しつつ、出張や関連分野の書籍及びZoom等のアカウント周りの整備に使用することを計画している。
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