2022 Fiscal Year Research-status Report
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19K14537
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| Research Institution | Naruto University of Education |
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Principal Investigator |
山中 仁 鳴門教育大学, 大学院学校教育研究科, 講師 (90725011)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | Zariskiスペクトラム / 再構成アルゴリズム |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度はGKMグラフのトーラス同変コホモロジーに関する同変剛性定理をさらに精密化するための研究を行った。より具体的には、昨年度までの研究で得られていたトーラス同変コホモロジーに関する幾何的な同変コホモロジー剛性定理を深化させる目的で、GKMグラフをトーラス同変コホモロジーから直接再構成する(理想としては函手的な)明示的なアルゴリズムを見出すべく、研究を行った。以前の研究により、トーラス同変コホモロジーの1点の同編コホモロジー上の次数付き可換代数としての構造(ないし、ある種の対称多項式からなる代数上の次数付き可換代数としての構造)と同変Chern類からGKMグラフがウェイトの符号込みで完全に決定できることを示していたので、この2つのデータからGKMグラフを復元できれば良い。そのための考察として、まず、QullenやGoresky-MacPhersonによる先行研究のように、Zariskiスペクトラムの構造を見ることの一環として、高さ0,1の素イデアルに関して考察を行うとともに、以前行った同変コホモロジー剛性定理における議論に対するイデアル論的な再定式化を行った。また、GKMグラフの中でもとりわけ良い性質をもつ(すなわち、同変コホモロジーが明示的かつ簡潔な生成元と関係式による表示を持つ)クラスであるトーラスグラフの場合(特に、トーラスグラフが非特異完備扇からくる場合)について、考察を行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
GKMグラフが非特異完備扇からくる場合はStanley-Risner環としての生成元と関係式を用いることでだいぶ様子が掴めてきたが、一般のGKMグラフの場合は生成元と関係式を特定すること自体がそもそも現実的な問題ではないため、トーラスグラフの場合からどのように一般化すればよいのかがまだ見えていない。また、イデアル論的な議論では符号を見ていないため、同変Chern類をどのように介在させるべきかについても明らかになってはいない。
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| Strategy for Future Research Activity |
トーラスグラフ以外の場合にも生成元と関係式を明示的に書ける場合はあるので、そこから様子を掴むことによって、一般の場合に関する予想を見出したい。同変Chern類の介在のさせ方については、以前の筆者自身の議論を振り返ることで、端緒を見出したい。
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| Causes of Carryover |
本年度は最終年度の予定であったが、コロナ禍の影響により、1年間の研究機関延長を行うことにした。そのため、次年度使用額が生じている。出張等が可能になりつつあるので、書籍、電子機器とともに、旅費として計上することを計画している。
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