2019 Fiscal Year Research-status Report
Singularity of geometric structures appearing in dynamical systems
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19K14540
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| Research Institution | Ritsumeikan University |
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Principal Investigator |
多羅間 大輔 立命館大学, 理工学部, 准教授 (30722780)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 可積分系 / Lie群 / sub-Riemann構造 / 測地流 / 代数的可積分系 / 剛体 / Hamilton力学系 / Lagrangeファイブレーション |
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| Outline of Annual Research Achievements |
2019年度は以下のような力学系やそこに現れる幾何構造に関して特異性の視点から研究を行った：
(i) 高い対称性をもつ空間であるLie群や等質空間上の幾何構造から定まる測地流について，次の2種類のクラスを考察した．
(1) 任意の半単純Lie群およびそのLie環のCartan部分環に対して定義される左不変計量に関する可積分測地流の平衡点（特異点）の周りでの挙動を解析し，単純Lie環とCartan部分環の分類を用いて，平衡点（特異点）周りの力学系を特徴づけるWilliamson型を分類した．この研究は，中国の研究者との共同研究であり，執筆論文を学術誌へ投稿中である．
(2) 7次元球面上のClifford代数の表現によって定まるsub-Riemann構造に関する測地流に関して，Hamilton構造を分析し，第一積分や特殊解を求めた．この研究は，ドイツの研究者との共同研究として行っており，数理解析研究所講究録に論文を報告掲載した．
(ii) 剛体に関わる多項式第一積分をもつ代数的可積分系のうち，特に理想流体中の剛体の回転運動をモデル化したClebschコマの系に着目し，特殊な条件の下で現れる射影代数曲面であるKummer曲面の特異点を具体的に決定した．また，周期積分を用いて作用変数を計算し，いくつかの特殊解を求めてLagrangeファイブレーションの退化との関係を調べた．この研究は，フランスの研究者との共同研究によって進めており，一編の論文がLondon Mathematical Society Lecture Note Series所収の研究集会プロシーディングスに掲載された．また，別の一編の論文を数理解析研究所講究録に報告掲載した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
半単純Lie群上の可積分測地流について平衡点（特異点）周りでの挙動に関する解析の結果がまとまり，今後付随するLagrangeファイブレーションの幾何構造や複素化におけるスペクトル曲線族やそのJacobi多様体族の退化との関係を追究するにあたっての土台が形成されつつある．また，Clebschコマに関する研究もこのような研究を進めるにあたっての内容豊富な具体例となっている．以上のように，研究はおおむね順調に進められていると考えている．
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| Strategy for Future Research Activity |
Lie群や等質空間上の可積分測地流について，平衡点（特異点）周りでのふるまいの解析に関する結果を基に，付随するLagrangeファイブレーションの幾何構造や退化の詳細について研究を推進する．Lax方程式が得られている系に関しては，複素化された系のスペクトル曲線とJacobi多様体の族に関する退化を調べ，Lagrangeファイブレーションの幾何構造との関係を解明することを目指す．とりわけ，Clebschコマ等の低次元の代数的可積分系に関する研究を軸に研究推進する．
さらに，Lie群や等質空間上の可積分測地流に対応するLaplace作用素のスペクトルや熱核の構造に関しても解析する．特に，sub-Riemann構造を導入できる場合には，計量の退化との関係を追究する．
これらの研究を通して，力学系に現れる種々の幾何構造に関する特異性の視点からの理解の枠組みを構築し，新たな幾何構造を発見することができるものと期待する．
実際の研究推進においては，社会情勢の動向に配慮しつつも，共同研究者等との研究打ち合わせやセミナー・研究集会における研究議論を通して研究を加速させる．さらに，研究指導を行う大学院生とも共同研究を行うことによっても，大学院生に対する教育効果も見据えながら，本研究を推し進める．
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| Causes of Carryover |
2019年度中に，「若手研究における独立基盤形成支援」による援助を受けることとなり，「次年度使用額」が大きくなっている．「若手研究における独立基盤形成支援」の枠組みでは，研究指導を行う大学院生を巻き込んだ研究体制を敷いて，大学院生に対する教育効果も視野に入れつつ研究計画の推進を今後3年度間にわたって行う．
特に，2020年度については国際研究集会を主催する予定である．この研究集会やセミナーの開催費，議論や研究打ち合わせ等係る費用，研究補助に対する人研費等の支出を予定している．
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