2020 Fiscal Year Research-status Report
Singularity of geometric structures appearing in dynamical systems
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19K14540
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| Research Institution | Ritsumeikan University |
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Principal Investigator |
多羅間 大輔 立命館大学, 理工学部, 准教授 (30722780)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | Hamilton力学系 / 可積分系 / Lie群 / 平衡点 / 情報幾何学 / Fisher-Rao計量 / 剛体 / 摂動 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
対称性の高い空間であるLie群や等質空間上のHamilton力学系を考察し，そこに現れる幾何構造を特異性の観点から分析し，力学系の挙動を理解することが本研究の第一の目的であった．2020年度は力学系と付随する幾何構造に関して以下のようなテーマについて特異性の視点に基づき研究した：
(i)半単純Lie群上の可積分測地流：任意の半単純Lie群およびそのLie環のCartan部分環に対して定義される左不変計量に関する可積分測地流の平衡点（特異点）の周りでの挙動について，平衡点の性質を表すWilliamson型のCartan部分環に付随するルート系のよる特徴づけと単純Lie群の場合の分類を与える研究結果（スイス・中国の研究者との共同研究）が，執筆論文が学術誌に掲載された．
(ii)情報幾何学とHamilton力学系：フランスの研究者との共同研究によって， コンパクトLie群を標本空間とする統計モデルに関して，確率分布函数間の距離を測るFisher-Rao半正値計量を一般的立場から考察した．とりわけ，あるクラスの指数型分布から随伴軌道上に誘導されるFisher-Rao計量（Riemann計量である）に関する測地流を考察し，測地流を記述するLie環上の微分方程式を対称性簡約の枠組みで導出した．この結果をまとめた報告は，国際会議議事録へ最近受理された．
(iii)3次元Euler方程式の摂動：フランスの研究者との共同研究によって，3次元自由剛体のEuler方程式にあるクラスの多項式摂動を加えた系について，楕円積分を用いて解析により極限軌道の個数評価を行った．この結果については，今後学術誌へ論文を投稿する予定である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
2020年度はCOVID-19の影響で当初開催を予定していた国際研究集会が延期となり，研究課題に関する研究計画の大幅な推進が促進される契機はなかったものの，情報幾何学に関連するHamilton力学系や3次元自由剛体のEuler方程式の摂動に関する研究が進展しているため，研究全体としては「おおむね順調に進展している」と判断している．
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| Strategy for Future Research Activity |
2021年度は，Lie群や等質空間上の可積分系について，Lagrangeファイブレーションの幾何構造に関する研究を微分位相幾何学や代数幾何学の手法を基に推進させる．特に，LagrangeコマやClebschコマ等の低自由度可積分系に焦点を合わせて研究を展開させる方針である．
また，Lie群や等質空間上のより広いクラスのHamilton力学系に関してもsub-Riemann幾何学・力学系の摂動理論や情報幾何学等の数理工学的方法も参考にしながら研究を行い，力学系に現れる幾何構造の理解の深化や新たな幾何構造の発見を目指す．
COVID-19の影響があるため予断を許さぬところであるが，共同研究者等との研究打ち合わせやセミナー・研究集会における研究議論を通して研究をオンライン手法も取り入れつつ加速させる．さらに，研究指導を行う大学院生とも教育効果を見据えて共同研究を行い，この研究課題の推進につなげる．
なお，2020年度に実施できなかった国際研究集会については，2021年度中にCOVID-19の感染状況を見ながらオンラインまたはハイブリッド形式などを考慮に入れつつ開催する予定である．
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| Causes of Carryover |
2020年度に予定していた国際研究集会が開催できなかったことや研究打ち合わせのための出張を見合わせたことが，次年度使用額が生じた大きな要因である．この研究集会については2021年度中にCOVID-19の感染状況を見ながらオンラインまたはハイブリッド形式などを考慮に入れつつ開催する予定であり，開催に係る費用を当該予算から支出予定である．また，出張についても，状況を見極めつつ可能であれば2021年度に実施する．これに必要な費用も当該予算から支出予定である．
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