2021 Fiscal Year Research-status Report
Singularity of geometric structures appearing in dynamical systems
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19K14540
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| Research Institution | Ritsumeikan University |
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Principal Investigator |
多羅間 大輔 立命館大学, 理工学部, 准教授 (30722780)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | Hamilton力学系 / 測地流 / Lie群 / 等質空間 / 情報幾何学 / sub-Riemann構造 / sub-Laplace作用素 / 熱核 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
高い対称性をもつ空間であるLie群や等質空間上のHamilton力学系に付随する幾何構造に関して，2021年度は主として以下のような課題に関して，幾何構造の特異性の視点から研究を展開した．
(i)情報幾何学に現れる測地流：Lie群を標本空間とする統計的変換モデルに関して，Fisher-Rao半正値計量に対する測地流のEuler-Poincare方程式をコンパクトLie群の場合に導出したフランスの共同研究者との共著論文が国際会議議事録から出版された．この研究テーマに関しては，得られた測地流の力学系理論の観点からの解析や非コンパクト群への拡張についても研究を継続している．
(ii)球面上のsub-Riemann構造に関するsub-Laplace作用素の解析学：7次元球面上のClifford代数の表現によって定まる自明化可能なsub-Riemann構造に関する劣楕円型作用素の熱核の構成や量子力学系の立場からも重要となるスペクトルの決定に関するドイツの共同研究者との共著論文がまとまり学術誌へ投稿中である．また，測地流のいくつかの第一積分を構成した．
その他，3次元Euler方程式の摂動系に関してフランスの共同研究者との共同研究を行っており，これまでに得られているあるクラスの摂動に関する極限軌道数の評価についての結果を一般化することを目指して研究を継続している．また，等質空間上の可積分測地流に関するスイス・中国の研究者との共同研究や，低次元可積分系に付随するLagrangeファイブレーションの幾何構造に関する代数的・複素解析的幾何学や位相幾何学的観点も踏まえた研究も継続中である．後者に関しては，研究室の大学院生によってLagrangeコマに付随する楕円ファイブレーションの特異ファイバーの分類に関する研究に進展があった．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
COVID-19の影響が長期化しており，国際共同研究を多く取り入れている本研究課題の進展にも，海外出張による研究打ち合わせの実施ができず効果的な研究推進が難しくなるといった影響が出ている．特に，等質空間上の可積分測地流や低次元可積分系に関する国際共同研究の進展に影響が出ている．また，2020年度に予定しており延期していた国際研究集会を多くのオンライン講演を交えた形式で実施した．研究集会自体はパンデミック下にも関わらず成功裏に終えられたと判断しているが，本研究課題推進に対する効果は十分とは言えない状況であった．そのような理由で，上記のような状況判断を行った．
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| Strategy for Future Research Activity |
2021年度は，Lie群や等質空間上の測地流やHamilton力学系に関して，可積分性・力学系理論・sub-Riemann幾何学・情報幾何学等の知見を基に数理工学的方法論も参考にしつつ分析を推し進める．そのことによって，上記の力学系の特異点と幾何構造における特異性の関連性や量子力学系について考察する．
また，低次元可積分系に付随するLagrangeファイブレーションに関する研究については，とりわけClebschコマに焦点を当てて微分位相幾何学や代数幾何学の手法を基に考察を深める．Lagrangeコマに付随する楕円ファイブレーションの代数幾何学的研究については研究室の大学院生等との議論を深める予定である．
共同研究者等との研究打ち合わせやセミナー・研究集会における研究議論を通して研究を加速させる．COVID-19の影響が緩和されれば対面での研究集会・セミナーの実施・参加・研究発表を目指したいが，状況をにらみつつオンライン手法も引き続き取り入れて対応する予定である．
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| Causes of Carryover |
2021年度もCOVID-19の影響が予想以上に長引き，対面での開催を目指していた国際研究集会の開催形態がハイブリッド形式となって多くの講演がオンラインとなった．また，国際共同研究を行う共同研究者との対面での打ち合わせのため旅費を支出する方針であったものの，COVID-19の影響によって実現できなかった．
2022年度はCOVID-19の影響に改善の兆しも見えるため，国際共同研究のための研究打ち合わせや国際研究集会への参加に係る招聘費用・出張旅費等の支出を見込んでいる．
また，国内の研究者との研究打ち合わせやセミナー・研究集会の実施に際しても，旅費等の支出を見込んでいる．
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