2019 Fiscal Year Research-status Report
向き付け不可能曲面の写像類群における組合せ論的群論の観点からの研究
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19K14542
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| Research Institution | Ishikawa National College of Technology |
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Principal Investigator |
小林 竜馬 石川工業高等専門学校, 一般教育科, 講師 (90759408)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 向き付け不可能曲面の写像類群 / 向き付け不可能曲面の写像類群のツイスト部分群 / 曲面の基本群 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
当該年度は、交付申請書に記載した「研究目的」、「研究実施計画」に添い、「境界成分数が２以上の向き付け不可能曲面の写像類群のシンプルな有限表示の構成および無限表示の改良」を目的に研究を遂行した。当該研究目的を達成するために、この群のツイスト部分群と呼ばれる群について調べる必要が生じた。よって、まずはこの群のシンプルな無限表示の構成を試み、実際に達成した（日本数学会２０２０年度秋季総合分科会、日本数学会２０２０年度年会にて講演）。また、当該研究の応用として、既に得られている境界成分数が２以上の向き付け不可能曲面の写像類群の無限表示とは異なる無限表示も構成した（日本数学会２０２０年度年会にて講演）。この成果は、当初の研究目的の部分的な解答を与えたものである。これらの結果は、向き付け不可能曲面の写像類群の特徴を明確に記述したものであり、当該研究分野における応用的な研究において重要な役割を果たすことが期待できる。さらに、当該研究に関連する内容として、向き付け可能曲面の基本群、向き付け不可能曲面の基本群およびそのある部分群について、これらの無限表示を与えた（arXiv:200313224参照）。この結果は、境界成分数が２以上の曲面の写像類群についての研究の発展に大きく貢献するものといえる。
次年度以降は、上述の当該年度の研究成果を利用し、当該研究目的を達成させる予定である。また、応用的な研究についても考察したい。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当該研究はおおむね順調に進展しているが、研究を進めていく上で想定していなかった別の問題（向き付け不可能曲面の写像類群のツイスト部分群に関する問題）を解決する必要が生じ、その問題を解決することに多くの時間を割くことになった。しかし、この問題の解決は、当該研究を進めていく上で重要な役割を果たすだけでなく、当該研究分野の発展においても有意義であるといえるものである。実際、この問題の解決には成功し、当該研究目的の達成に大きく近づいたため、結果的に当該研究はおおむね順調に進展しているといえる。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後は、当該年度で得られた研究成果を利用し、本来の研究課題に取り掛かる。具体的には、「境界成分数が2以上の向き付け不可能曲面の写像類群のシンプルな有限表示の構成および無限表示の改良」に取り掛かる。当該年度ではこの研究目的の部分的な解答を与えることに成功したが、今後の研究において当該研究を完成させる予定である。
また、交付申請書に記載した「向き付け不可能曲面のTorelli群」に関する研究にも取り掛かる。より具体的には、この群が有限生成可能であるか否かについて調べる。当該研究については、向き付け可能曲面のTorelli群が有限生成可能であることを示したJohnson (Annals of Mathematics, Vol. 118, No. 3 (1983), 423-442) の手法を参照する。
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| Causes of Carryover |
東京方面の出張において、何度か知人宅への宿泊が可能になったことで、当初予定していたより宿泊費の使用を少なくすることができた。また、新型コロナウイルスの影響で、２月、３月に予定していた出張がすべてキャンセルになったことが、次年度使用額が生じた主たる原因である。
次年度使用額については、当該年度の２月、３月に予定していてキャンセルになった研究打ち合わせを次年度に行うために使用する。また、翌年度分として請求した助成金は、翌年度に予定している出張等に用いる。
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