2019 Fiscal Year Research-status Report
Applications of index theory to geometry and physics
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19K14544
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| Research Institution | Institute of Physical and Chemical Research |
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Principal Investigator |
窪田 陽介 国立研究開発法人理化学研究所, 数理創造プログラム, 研究員 (30804075)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 指数理論 / K理論 / 作用素環 / トポロジカル相 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
高階指数（higher index）とは，閉多様体上の楕円型偏微分方程式をその普遍被覆空間に持ち上げたときの解空間の大きさを記述する位相不変量で，基本群の群C*-環のK群に値を持つ．特に，スピン多様体のDirac作用素の高階指数は，多様体が正スカラー曲率計量を持つことに対する強力な障害を与えている．兼ねてより中心的な課題の一つとして継続している相対高階指数の研究の中で，特に重要な応用として，余次元2部分多様体の高階指数理論を扱っていた．これはGromov-Lawson, Hanke-Pape-Schickの理論を発展させたもので，ある種の簡単な条件のもとで，余次元2部分多様体の高階指数の非消滅がもとの多様体の高階指数の非消滅を誘導するという定理であった．
本年度の研究では，この定理について別の角度から議論する新しい論文を，T. Schick 氏との共同で執筆した．ここでは，相対高階指数の新しい道具立てを用いる代わりに，高階指数の間の関係を，我々が"codimension 2 transfer map"と呼んでいる写像を構成することで，より見通しよく明示的に記述することに成功した．codimension 2 transfer mapは，Calkin環と呼ばれるC*-環への基本群のモノドロミー表現を用いることで構成される．
また，この研究と並行して，物質のトポロジカル相や量子ウォーク，Wilson-Dirac作用素といった，物理学の中に現れる作用素の持つトポロジカルな情報を高階指数理論の観点から明らかにするいくつかの研究を進めた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
当初の研究計画にある研究は順調に進展しており，論文を執筆する準備が整いつつあるため．また，これに加えて，本年度は，理化学研究所でのセミナーや新学術領域会議など多様な研究者と交流する機会があり，新しい情報を収集できた．このことにより，本課題に関連する新しい研究に複数着手することができ，多様なトピックに対して指数理論の技術を生かす研究が幅広く進展しているため．
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| Strategy for Future Research Activity |
基本的には当初から計画していた研究をさらに推し進めていくことになる．加えて，この一年で多くの観察が得られたので，これらの細部をきっちりと詰めて論文として形にすることが当面の課題となる．
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