2022 Fiscal Year Annual Research Report
Applications of index theory to geometry and physics
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19K14544
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| Research Institution | Shinshu University |
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Principal Investigator |
窪田 陽介 信州大学, 学術研究院理学系, 講師 (30804075)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 指数理論 / 非可換幾何 / トポロジカル相 / 作用素環 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
高階指数（higher index）とは，閉多様体上の楕円型偏微分方程式をその普遍被覆空間に持ち上げたときの解空間の大きさを記述する位相不変量で，基本群の群C*-環のK群に値を持つ．特に，スピン多様体のDirac作用素の高階指数は，多様体が正スカラー曲率計量を持つことに対する強力な障害を与えている．
本研究では，この高階指数を被覆空間に持ち上げることに関する一つのテクニックを導入し，そのいくつかの応用を示した．
その一つがHanke-Pape-Schickによって提案された余次元2部分多様体の指数理論である．ここでは，ある種の簡単な条件のもとで余次元2部分多様体の高階指数の非消滅がもとの多様体の高階指数の非消滅を誘導することが予想されていたが，それをいくつかやり方で証明した．加えて，この理論を物性物理におけるバルク・螺旋欠陥対応の数学的証明に応用し，2次不変量や巡回ペアリングに対して一般化した．
もう一つが，GromovとZeidlerによるバンド幅の研究への応用である．ここでは，KO-バンド幅が無限であるという正スカラー曲率計量の障害が，高階指数より弱いものであるというZeidlerの予想を証明した．
また，この研究と並行して，素粒子物理における格子Wilson-Dirac作用素の指数理論に対して，高階指数理論や概平坦ベクトル束の指数理論を用いた新しい証明を与えた．
最終年度である2022年度には，これまでの本研究課題にかかる研究業績を含めた分野の紹介を目的とした書籍の執筆を主に行った．この本は，2023年4月20日にサイエンス社から出版された．また，荒野悠輝氏，北村侃氏との共同で，KasparovのKK理論のテンソル圏版の構築に関する研究を行った．これは，Voigtによる量子群同変KK理論のモノイダル不変性を弱森田不変性に一般化し，かつ部分因子環論のC*-環版のためのトポロジカルな枠組を与えている．
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