2019 Fiscal Year Research-status Report
Correspondence between non-commutative probability, probability and univalent function theories
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19K14546
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| Research Institution | Hokkaido University |
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Principal Investigator |
長谷部 高広 北海道大学, 理学研究院, 准教授 (00633166)
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2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | Loewner chain / マルコフ過程 / 加法過程 / 単調独立性 / 自由独立性 / 分枝過程 / ランダム行列 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Franz-Hasebe-Schleissinger(2018)において単調加法過程、あるクラスのLoewner chain、あるクラスのマルコフ過程の間に全単射対応が構成されている。この対応は実数値マルコフ過程と単位円周値マルコフ過程の２つの場合それぞれにおいて確立されている。2019年度においては、単位円周の場合に、さらに加法過程との間にも全単射対応を構成することができた。これには従来のLoewner微分方程式では不十分であり、より一般の概念として「Loewner積分方程式」を定式化し、Loewner chain理論自体にも基本的かつ重要な貢献ができたと考えている。（堀田一敬との共同研究）
Schlyakhtenko (2018)とCollins-Hasebe-Sakuma (2018)において、単調独立性とあるランダム行列モデルとの関連が示唆されていたが、実際、関連性があることが分かった。（Octavio Arizmendi，Franz Lehnerとの共同研究）
自由確率論の２次元への拡張がVoiculescuにより2013年ごろに提案された。この理論は２成分を持つ確率ベクトルに対する「双自由独立性」概念に基づいている。今回、ユニタリー作用素を成分に持つような双自由独立な確率ベクトルの積に関するGnedenko型の極限定理を研究した。その結果、確率論においても１次元ないし高次元トーラス上での極限定理はあまりよく知られていないということが分かり、新しく極限定理を証明した。（Hao-Wei Huangとの共同研究）
人口変化などのモデルとして知られている分枝過程と呼ばれるマルコフ過程が本研究計画と興味深く関連することが分かってきた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
複素関数、特にLoewner chainの観点からは、予想していた以上に研究が進展した。既存の研究ではLoewner chainには時間に関する微分可能性を過程した上で「Loewnerの微分方程式」を導出していたが、今回の研究においては、時間に関する微分可能性の過程を弱めて、連続性のみを仮定した上で「Loewner積分方程式」を導出した。この積分方程式に基づいて、適切なgeneratorの定義が可能になり、さらに予想していなかった結果として、Loewner chainの列に対する収束が対応するgeneratorの列の収束によって特徴付けられるという結果を得た。このことから、この積分方程式と付随するgenerator概念は、当初の予想以上に、Loewner chainの理論において基本的な重要性を持っているのではないかと考えている。他にも、メキシコにおける確率過程の専門家との議論を通じて、本研究計画と分枝過程との関連が興味深い方向に進展しており、こちらも予想外の進展となった。また、ランダム行列と単調独立性との新たな興味深い関連が見えてきたが、clear-cutな理解には至っていない。本研究計画の一部であるSLEについては、当初から困難を予想していたが、やはり研究の進展は芳しくない。今後、引き続き情報収集を行うなどして、方針を探っていきたい。
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| Strategy for Future Research Activity |
堀田と連携しながら、Loewner積分方程式に関する論文の取りまとめを行い、成果発表の方法などの打ち合わせを行う。確率論や複素関数論の研究集会においてこれまでの研究を報告する予定である。またこの方向性で未解決の問題に取り組む。具体的には、比較的易しい古典的なLoewner chainの範疇では積分方程式理論がうまくできたが、より一般のLoewner chainの場合には技術的な困難があり、積分方程式の理論が未完成で、解決のめども立っていない。この問題について、堀田、Pavel Gumenyuk, Sebastian SchleissingerなどのLoewner chainの専門家と議論したい。
本研究計画に絡んできた分枝過程については、複素関数やマルコフ過程に関する深い理解が必要になってきたため、複素関数論の専門家であるPavel Gumenyuk、分枝過程の専門家であるJose Luis Perezと議論していく。
その他[研究実績の概要]において述べたArizmendi、Lehnerとの共同研究において得られた成果を論文に取りまとめていく。
他にもKamil Szpojankowski, Steen Thorbjornsen, Wang, 植田と研究打ち合わせを行っており、今後も引き続き、推進していく。
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