2021 Fiscal Year Research-status Report
非有界係数を持つ経路依存型・非衝突型の確率微分方程式の数値解析と密度関数の研究
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19K14552
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| Research Institution | Okayama University |
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Principal Investigator |
田口 大 岡山大学, 異分野基礎科学研究所, 准教授 (70804657)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | Polynomial diffusions / Euler-Maruyama近似 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は、非有界な係数を持つ確率微分方程式と非衝突確率過程の「数値計算手法の構成と誤差評価」を研究することである。2021年度は以下の2点について研究成果を得ている。①Polynomial diffusionsと呼ばれる拡散係数が1/2-ヘルダー連続な場合の多次元確率微分方程式の離散近似手法。②拡散係数が不連続関数である場合の1次元確率微分方程式に対するEuler--Maruyama近似の誤差評価。
①について。中川卓也氏（立命館大学）、湯浅智意氏（東京都立大学）との共同研究である。拡散係数が1/2-ヘルダー連続である場合の確率微分方程式の解の存在と一意性は、高次元の場合は特別な場合しか知られていない。その方程式の一つとしてPolynomial diffusionsがあり、その離散近似を導入し誤差評価に関する結果を得た。1次元の場合であればLamperti変換を用いて拡散係数のヘルダー連続性をドリフト係数の問題に置き換えることがでる。一方で多次元の場合には同様の変換を用いることができたいため解の一意性を証明する際に用いられている別の変換手法を適用することで拡散係数のヘルダー連続性をドリフト係数の問題に置き換えることができる。本研究ではこの変換を元に数値解析手法を導入した。
②について。1次元確率微分方程式は拡散係数が不連続な関数であっても道ごとの一意性が成立することが証明されている。しかし、これまでの研究では不連続性の問題点から、その数値解析手法であるEuler--Maruyama近似は特別な場合でのみ誤差評価が与えられていた。
本研究ではAvikainenによって証明された不等式を適用することによって局所時間に関する議論と組み合わせることで道ごとの一意性が成立する条件の元でEuler--Maruyama近似の誤差評価に関する結果を得た。
①②共に学術雑誌に投稿済みである。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
非衝突確率過程の数値解析に関するする研究については、Hoang-Long Ngo氏(Hanoi National University of Education)の共同研究中である。Bessel過程やDyson Brownian motionといった確率過程の一般化であるRadial Dunkl processに対する数値解析手法である「Backward Euler--Maruyama近似」の開発を行なっており、すでにその誤差評価に関する結果を得ている。Backward Euler--Maruyama近似を数値計算するためには、ある「非線形方程式」を数値計算する必要があるが、その数値計算アルゴリズムについても高速に計算できる手法をすでに導入できており、効率的に実装することが可能である。
現在は、その誤差評価に関する仮定をより精密にできないかを議論している。特に、確率過程の逆数のモーメントの評価が必要であるが、これを熱核の評価を用いてできないかを議論している。この熱核に関する評価を用いた論文がいくつかあるが、確率過程の初期値が特別な場合にのみ適用しており、多次元特有の問題点が表れている。現在までの状況として、熱核を用いた手法が一般の初期値にまで適用できないのかを議論しているところである。
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| Strategy for Future Research Activity |
非衝突確率過程の数値解析に関するする研究について、この確率過程は、ある変換を用いて確率微分方程式の係数が「多項式増大する」場合に変換することができる。近年、係数が多項式増大する確率微分方程式の数値解析手法として、「tamed Euler--Maruyama近似」と呼ばれる数値解析手法が注目を集めている。Backward Euler--Maruyama近似は非線形方程式の数値計算が必要であるため、通常のEuler--Maruyama近似よりも計算量が必要になる手法である。一方で、tamed Euler--Maruyama近似は非線形方程式を用いる必要がないため、より効率的な数値計算が可能となる手法である。今後の研究の推進方策として、非衝突確率過程（の変換した方程式）に対するtamed Euler--Maruyama近似を考え、その誤差評価が得られないか検討する。
また、前年度証明した高次元の場合のAvikainenの不等式を非衝突確率過程とその離散近似に対しても適用するために、Backward Euler--Maruyama近似の密度関数に対するガウス型の評価についても研究する予定である。通常のEuler--Maruyama近似であれば、その密度関数の評価については研究が行われているが、Backward Euler--Maruyama近似の場合には、まだ研究が行われていない分野である。Romito氏によって導入されたone-step Euler-Maruyama近似を用いた方法などを拡張することで、上記のガウス型評価など密度関数の評価が得られないか検討する予定である。
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| Causes of Carryover |
コロナウイルスの影響で、国際研究会が延期となり、次年度に繰り越すことになった。
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