2020 Fiscal Year Research-status Report
Studies on integral representations of GKZ hypergeometric functions
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19K14554
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| Research Institution | Kobe University |
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Principal Investigator |
松原 宰栄 神戸大学, 理学研究科, 特命助教 (70834381)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | GKZ超幾何函数 / 積分表示 / 交叉理論 / 急減少ホモロジー群 / モノドロミー表現 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究はGKZ超幾何函数と呼ばれる特殊函数の積分表示の理論を研究して、大域解析及び漸近解析を完成することを目標とする。本年度は交叉理論の研究について進展が得られた。GKZ系の大域解析についての結果は整備されたが、漸近解析についてはあまり進展が得られていない。
1.交叉理論：物理学者のSebastian Mizera氏との議論を通じて交叉理論への新たな切り口が得られた。可積分接続に付随する代数的de Rham cohomology群の交叉数には２種類の局所化公式が知られている。一つは、一般の対数的接続に対して定式化される留数公式である。もう一つは超幾何的な接続に対して定式化される停留位相公式である。留数公式は、接続が射影空間上のgenericな超平面配置に付随する場合にのみ証明がなされていた（趙-松本）が、この結果を一般の滑らかな射影的代数多様体上の対数的接続にまで拡張した。停留位相公式は、その正確な定式化が欠けていたため、適切なcohomology群を導入した。June HuhによるVarchenkoの予想の一般化を参考に、停留位相公式を適切な仮定の下で証明した。これらの局所化公式の一般化及びこれまでのGKZ系の交叉理論の研究の応用として、Arkani-Hamedらのpositive geometryにも自然に交叉数が現れることがわかった。
2.GKZ系の大域解析:現在までの結果をまとめた論文"Global analysis of GG systems"を発表した。この論文中では、GKZ系と隣接関係式の構造を組み合わせたGG系（Gelfand-Graevらによる微差分方程式系）の立場から、GKZ超幾何函数の大域解析を論じている。GG系の解空間の定義とその有理函数体上の次元、モノドロミー不変部分空間の無限階差分作用素による記述、二次扇の組み合わせ論と接続公式の対応が得られている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
GKZ系のcohomology 交叉形式とamplitudeの関係、GG系の大域解析などについては一定の成果が得られたが、漸近解析については目ぼしい進展が得られていない。
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| Strategy for Future Research Activity |
1.交叉理論：確定特異点型の接続について得られた交叉数の局所化公式を用いて、代数的de Rham cohomology群の基底計算アルゴリズムを模索する。不確定特異点型の接続について、予想される交叉数の局所化公式を証明する。
2.大域解析：GKZ系の特別なクラスである、超平面配置に付随するGauss-Manin系のモノドロミー表現は交叉理論と深い関係をもつ。本研究で現在までに得られた交叉理論への理解を踏まえつつ、モノドロミー表現を交叉形式で書き下す公式を模索する。
3.漸近解析：目標であるGKZ超幾何函数の漸近解の構成を模索する。特に、接続問題で重要な役割を果たす無限階差分作用素が鍵になると考えている。
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルスの蔓延に伴い、予定していた出張が全てキャンセルされたために次年度使用額が生じた。翌年度分の旅費の補填に用いる。
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