周期点におけるmultiplierを用いた複素力学系におけるモジュライ空間の研究

2021 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 19K14557
• Research Institution: Gifu Pharmaceutical University
• Principal Investigator: 杉山 登志 岐阜薬科大学, 薬学部, 准教授 (10835614)
• Project Period (FY): 2019-04-01 – 2023-03-31
• Keywords: 複素1変数多項式のモジュライ空間 / モニックかつ中心的な複素1変数多項式 / 固定点重複度 / multiplier / 正則指数 / 被覆次数

Outline of Annual Research Achievements

複素1変数自己正則写像の固定点において，multiplier（乗数，微分係数）を少し拡張した概念である「正則指数」，および重複度が定義される。全ての固定点における重複度と正則指数の組の集まりを与えたときに，それを実現する複素1変数多項式のアファイン共役類がどれだけあるのかを調べる研究を行っている。複素1変数多項式が重複固定点を持たない（すなわち，全ての固定点における重複度が1の）ときには，この問題は既に解決済みであり，重複固定点を持つ（すなわち，少なくとも1つの固定点における重複度が2以上の）場合にはこの問題を解決することが飛躍的に難しくなることは既に分かっていた。重複固定点を持つ場合において，全ての固定点における重複度の集まりを固定するごとに，genericな重複度と正則指数の組の集まりに対するこの個数を，2019年度中に求めることができ，2020年度にはこの結果を論文に纏めて投稿した。また，この結果から「generic」を外すことは，ただ1つの重複固定点を持つ場合には既にできていたが，重複固定点の個数が2個以上の場合にはまだできていない。しかし，2020年度中に，このことについて，結果の予想を定式化できているので，当面は，定式化した式を証明することを目標としている。この予想を証明する手段として，重み付き射影空間で考える，かなり複雑な行列を巧妙に扱う，のいずれかが考えられるが，この1年なかなか進展していない。また，定式化されたものをarrangementの分野から見て何等かの形で解釈し直すことができるようにも思うが，それが何であるのかもまだ分かっていない。

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

重複固定点を持つ場合におけるgenericな結果は論文にまとまっている。また，この結果から「generic」を外した詳細な構造についての予想を定式化することもできている。しかし，今年度も，コロナ禍から正常化されたとはとても言えない環境の中で，研究のために納得がいくだけのリソースを割くことが出来なかった。そのため，期待したほどの進展は得られなかった。

Strategy for Future Research Activity

2個以上の重複固定点を持つ場合におけるgenericでない詳細な結果について，予想は立っているので，その証明を得ることを目標に，研究を続ける。それと並行して，パラメータ空間やモジュライ空間のコンパクト化に適切な複素構造を入れる，固定点にマークを付けた空間でどのような構造になっているのかを調べる，既に得られた結果をarrangementの分野から見て解釈し直すことによりどのような定式化が可能であるのかを調べる，などのうちから可能なものを順に取り組む。

Causes of Carryover

コロナ禍により2年続けて殆ど出張ができなかった。そのため，この2年間，殆ど研究費を使用していない。コロナ禍による研究の遅れもあるので，今年度末には補助事業期間の延長申請を行う予定である。なお，可能であれば，来年度末にも繰り返し補助事業期間の延長申請をしたい。（コロナ禍により2年間殆ど研究費を使用できない環境にあったので，その分，補助事業期間をトータルで2年延長できるように制度設計をして頂けると大変ありがたい。）