2023 Fiscal Year Research-status Report
周期点におけるmultiplierを用いた複素力学系におけるモジュライ空間の研究
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19K14557
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| Research Institution | Gifu Pharmaceutical University |
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Principal Investigator |
杉山 登志 岐阜薬科大学, 薬学部, 准教授 (10835614)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | 複素1変数多項式のモジュライ空間 / モニックかつ中心的な複素1変数多項式 / 固定点重複度 / multiplier / 正則指数 / 被覆次数 / 包除原理 / リーマン面上の有理型1形式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
複素1変数の自己正則写像の固定点において，multiplier（乗数，微分係数）を少し拡張した概念である「正則指数」，および重複度が定義される。全ての固定点における重複度と正則指数の組の集まりを与えたときに，それを実現する複素1変数多項式のアファイン共役類がどれだけあるのかを調べる研究を行っている。複素1変数多項式が重複固定点を持たない（すなわち，全ての固定点における重複度が1の）ときには，この問題は，2017年および2023年の私の論文で解決済みであり，重複固定点を持つ（すなわち，少なくとも1つの固定点における重複度が2以上の）場合には未解決であった。重複固定点を持つ場合において，全ての固定点における重複度の集まりを固定するごとに，genericな重複度と正則指数の組の集まりに対するこの個数を，2019年度中に求めることができ，現在，この結果を纏めた論文を投稿中である。また，この結果から「generic」を外すことは，ただ1つの重複固定点を持つ場合には既にできていたが，重複固定点の個数が2個以上の場合にはまだできていなかった。しかし，2020年度中に，このことについて，結果の予想を定式化できていた。
2023年度にアメリカの代数幾何学の研究グループの得た結果が，私の研究と本質的に同じであることが分かった。彼らと私とでは，モチベーション，定式化の方法，証明方法はいずれも全く異なるが，得られた定理を読み替えると実質的に同じ定理になっている。
また，私の得た公式は，何らかの包徐原理と見ることが出来るが，超平面配置や代数的組合せ論とも何等かの繋がりを持つことも，2023年度にはっきりと分かった。直ちに，ここから何らかの研究結果が出せるのかは分からないが，明確に繋がりをもっていることが分かったのは2023年度の成果の一つである。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
2022年度中にオンライン版で掲載されていた論文が，2023年度にはフルバージョンで公開された。また，1本の論文を投稿中である。
「研究実績の概要」でも軽く触れたが，私の結果が，アメリカの代数幾何学の研究グループの研究結果と深い繋がりを持つことが分かった。彼らは，リーマン面上の有理型1形式において，極および零点の位数と，極における留数を指定したときに，それを実現するものが，リーマン面上の自己同型群の作用による同値類のレベルで何個あるのかを調べる研究を行っている。彼らの研究と接点ができたことは，今後の研究の進展に大きな影響を及ぼす可能性がある。
また，超平面配置との関係も，掘り下げていけば大きな芽が育つ可能性がある。
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| Strategy for Future Research Activity |
これまでに研究してきた多項式写像のモジュライ空間の適切なコンパクト化を考えたい。これまで既に何通りかのコンパクト化がなされてきたが，いずれも不十分で，乗数写像との相性がよく，しかも，複素構造の入ったモジュライ空間を構成したい。
また，リーマン面上の有理型1形式のモジュライ空間との深いつながりから，どのような研究の進展が図れるかを考えたい。
また，超平面配置との関係を掘り下げることにより，どのような進展が得られるかも考える。
時間があれば，2次元以上の力学系の空間でも，同様のことを調べたい。
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| Causes of Carryover |
2020年度から2022年度途中まで，コロナ禍のため殆ど出張ができず，研究費を使用できなかった。それに伴い，研究に遅れも生じた。そのため，年度末には補助事業期間の延長申請を申請し，受理された。
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