2022 Fiscal Year Research-status Report
Local representation of smooth functions and asymptotic analysis in harmonic analysis
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19K14563
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| Research Institution | Fukuoka Institute of Technology |
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Principal Investigator |
野瀬 敏洋 福岡工業大学, 工学部, 助教 (90637993)
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2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 局所ゼータ関数 / 解析接続 / 漸近解析 / 無限階微分可能関数 / 平坦関数 / ニュートン多面体 / トーリック・ブローアップ / 振動積分 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
2022年度は局所ゼータ関数について研究を行った。局所ゼータ関数は無限階微分可能実数値関数を用いて右半平面上定義される複素正則関数であり、その有理型解析接続可能な領域や特異点での振る舞いについて調べた。特に、無限階微分可能関数の「モデル」に属する特別な実2変数関数によって定義される2次元局所ゼータ関数について、その特異点での振る舞いを詳細に調べた。ここで無限階微分可能関数のモデルとは単項式と平坦な関数の和で表されるような関数である。実解析的関数の場合は広中の特異点解消により単項式の場合が本質的に重要であったため、このモデルの重要性も同様に示唆されるが、実際に九州大学の神本氏により、実2変数の平坦でない無限階微分可能関数は局所的に上記のモデルで表示されることが示されている。
前年度、2変数無限階微分可能関数のモデルにおける単項式の次数が等しい場合に、局所ゼータ関数の極でない特異性を取り出すことができたのだが、その特異性については上からと下からの評価によるものであった。2022年度ではこのような場合の特別な無限階微分可能関数に対して局所ゼータ関数の特異点におけるさらに精密な漸近挙動を得ることができ、極以外の特異性が漸近展開の中の対数項として見いだされた。その結果、その特異点を越えるような有理型解析接続が不可能であることが分かった。先行研究において有理型解析接続可能な領域の大きさを測るために定義した量があるのだが、モデルの場合の下からの評価については既に得られており、この結果を用いることでモデルのほとんどすべての場合でその評価が最良であることが示された。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
当該研究のテーマに関する研究結果をいくつか得ることができている。一方、2020年度において新型コロナウイルス禍により所属研究機関での遠隔講義の実施に伴い教育負担が増加し研究時間が減少したため、進捗状況がやや遅れていた。その影響が現在まで続いている。
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| Strategy for Future Research Activity |
2変数無限階微分可能関数のモデルに対して、局所ゼータ関数の解析をさらに進めたい。より高次元での局所ゼータ関数の解析接続についても調べる。無限階微分可能関数に対してトーリック・ブローアップを用いることでうまく局所表示することを試み、詳しい解析を行いたい。また、振動積分の漸近解析をはじめとする、対応した種々の問題への応用を考える。多変数関数論におけるベルグマン核の境界挙動などへの応用についても検討したい。
なお、これまでに得られた研究成果については論文として未発表のものがあり、現在は研究と論文の執筆作業を同時進行させている。
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルス禍により研究集会等に参加する際の旅費として使用しなかったため。2023年度に研究成果を発表するための旅費として使用する。
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