2021 Fiscal Year Research-status Report
Surface evolution equations with singular structure and boundary value problems
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19K14564
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| Research Institution | Hokkaido University |
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Principal Investigator |
浜向 直 北海道大学, 理学研究院, 准教授 (70749754)
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2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 粘性解 / ハミルトン・ヤコビ方程式 / 勾配評価 / 完全非線形放物型方程式 / 平均曲率流方程式 / 比較定理 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
物質間の境目として現れる「界面」の運動を記述する、非線形退化放物型偏微分方程式の初期値・境界値問題の数学解析を主な研究内容とする。典型例として、ハミルトン・ヤコビ方程式や、特異構造を持つ平均曲率流方程式などを扱う。微分方程式の弱解である粘性解の理論に基づき、解の存在と一意性や、解の漸近挙動などの数学解析を行う。粘性解理論の深化と発展、そして界面発展現象を記述する非線形偏微分方程式に数学的な基礎付けを与えることを目指す。
令和３年度は、次のことを研究した。
（１）ハミルトン・ヤコビ方程式の粘性解の弱微分の各点評価：凸なハミルトニアンを持つハミルトン・ヤコビ方程式の初期値問題を考える。この問題の粘性解の、空間変数に関する各点での劣微分・優微分の大きさを評価するための、新たな手法を確立した。そして下からの評価について、先行研究よりも良い評価を得た。今回の手法では、対応するハミルトン系の解を調べることで、初期値の弱微分がどのように伝播するかを明らかにしている。近年のAlbano-Cannarsa-Sinestrari(2020)の結果を応用した。さらに界面発展方程式の場合、解の弱微分が、同じ等高面の初期値の弱微分にのみ依存して決まることも示し、このことから、より良い評価を導いた。本研究は、廣瀬和也氏との共同研究である。
（２）不連続外力項付き完全非線形退化放物型方程式に対する弱比較定理：供給源を持つ結晶成長現象を記述する、不連続外力項付きの界面発展方程式を考える。典型例は、外力項・駆動力項付きの平均曲率流方程式である。方程式の不連続性のため、通常の意味での比較定理は期待できないが、本研究で、ある意味での弱い形の比較定理が成り立つことを証明した。対応する粘性解の一意性、および粘性解の存在についても議論した。本研究は、三栖邦康氏との共同研究である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
以下の点において、予想よりも良い一定の成果が得られたため、おおむね順調な進展と判断した。
（１）の解の弱微分の評価に関して、下からの評価は先行研究Ley(2001)でも知られていた。本研究では、今回の評価が、先行研究のものよりも良いことを証明した。さらにこの評価が、いくつかの簡単な例において最適な評価になっていることも確認した。また、初期時刻における空間の領域を指定したとき、弱微分の評価が得られる時空間の領域が、先行研究のものよりも広いことも示した。このように、既知の結果の様々な改良に成功した。
（２）の不連続外力項付きの問題では、１階微分の項の構造、典型例とする方程式においては駆動力の符号に着目し、２つのバージョンの弱比較定理を導いた。１つ目は、符号の指定は無いが、比較対象の解の一方にリプシッツ連続性を仮定するもの、２つ目は、符号を指定するが、解の正則性の仮定は必要ないもの、である。当初、駆動力の符号を仮定した２つ目のバージョンのみで準備していたが、証明を精査することで１つ目が成り立つことも発見できた。
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| Strategy for Future Research Activity |
（１）の解の弱微分の評価について、特に下からの評価は先行研究がほとんど無いため、方程式がどこまで一般化できるかは今後の課題である。最適制御やゲーム解釈に基づいた、解の表示公式が役に立つことが期待される。また、境界条件がある場合の評価の導出方法も検討したい。さらに弱微分の下からの評価は、非局所な界面発展方程式の解の一意性を導くために有用であることが知られている。このような応用についても検討したい。
また今年度は、平均曲率流方程式よりも強い特異性を持つガウス曲率流方程式の数学的基礎、特に粘性解理論と等高面の方法について研究準備を行った。解の挙動について、今後考察する予定である。
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| Causes of Carryover |
理由：感染症拡大に伴う出張キャンセルで、出張費の支出が予定よりも少なくなったため。また印刷費や会議費などの諸経費も抑えられたため。
使用計画：研究情報収集のための書籍や、研究打ち合わせ・研究成果執筆のための電子機材の購入費等として支出予定である。また状況の許す限り、情報収集・研究打ち合わせのための出張も行う。
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Research Products
(8 results)
