2019 Fiscal Year Research-status Report
Variational problems associated with best constants of functional inequalities in a limiting case
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19K14568
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| Research Institution | Hiroshima University |
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Principal Investigator |
佐野 めぐみ 広島大学, 工学研究科, 准教授 (70834935)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 最小化問題 / 関数不等式 / 臨界ソボレフ空間 / 非コンパクト / Hardyの不等式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
これまでHardy型不等式及びその他の種々の関数不等式の「最良定数の値」や「付随する最小化問題の達成可能性（不等式の等号成立条件）」に関する研究を行ってきた。Hardy及びSobolev不等式は、偏微分方程式の解を扱う舞台であるソボレフ空間の埋め込みを表し、またそれらのコンパクト性は当該分野で基本的な問題であり、重要である。
特に最近では、(1)関数不等式の極限形の導出や(2)改良型Hardy-Sobolev不等式の最良定数に付随する最小化問題、(3)臨界Rellich不等式の最良定数や最小化問題に興味を持ち、研究を行った。
より詳細に述べると、以下の通りである。
(1) 通常、関数不等式に対する極限というものは考えられないが、本研究ではHardy型不等式やPoincare不等式の指数や領域に関して極限をとるある種の手法を提案した。
(2) 単位球上での古典的なHardy-Sobolev不等式は球対称関数に限定した場合、境界に特異性を持ったポテンシャル関数を付加することで改良できることが知られている。この単位球上での改良型Hardy-Sobolev不等式は球対称関数の場合、全空間の古典的Hardy-Sobolev不等式と同値であり、最良定数やその達成可能性、スケール不変構造などはこの変換により導くことができる。本研究では、球対称関数に制限しない改良型 Hardy-Sobolev不等式について考察し、Sobolevタイプの場合に球対称性の破れが起こることを示し、それを用いてHardy-Sobolevタイプの場合は非球対称な最小化関数が存在することを示した。
(3) Hardy不等式の高階への一般化として、Rellich不等式が知られている。本研究では、球対称関数の場合に、臨界Rellich不等式の最良指数や最良定数の具体的な、及び達成可能性について考察した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
臨界Rellich不等式はこれまでもある程度は研究されてきたが、指数や階数を制限したものがほとんどであり、この点に関しては部分的な結果ばかりで、臨界Rellich不等式の全体的な構造があまり解明されてこなかった。
さらには、最良定数に関して誤った研究結果もあり、未だその結果を（公式には）正せていなかったのが当該分野の現状であった。
本研究では、その誤った研究結果の誤っている箇所および原因を説明し、球対称な場合に制限するが、指数や階数に制限はなく、臨界Rellich不等式の正しい最良定数の値及び達成可能性について全て明らかにできたから。
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| Strategy for Future Research Activity |
１．研究実績の概要(2) で扱った最小化問題等を重み付き臨界Sobolev空間に一般化する
これまでの研究で考察した最小化問題は重みがついていない通常の臨界Sobolev空間の埋め込みに関連するものであるが、Horiuchi-Kumlin論文では、重み付きの場合も未解決問題として指摘されている。重みが付いたことにより、これまで用いた手法はそのままでは適用できない。今後は手法を一般化しながら、重み付きの場合も考察していく。その際、
球対称関数に帰着させる方法として、重み関数がついた球対称再配列の理論やmoving plane法などを用いる。また重みを付けたことにより、質の違う非コンパクト性が二つ生じ、臨界指数が二つ現れる二重臨界という状況が生じる。この場合は解析がより複雑になるため、最小化列が一点に集中する場合、集中する点が複数の場合を分けて考察し、それぞれの可能性を排除し、解決していく。
２．研究実績の概要(3) の結果の球対称性を外す。
研究実績の概要(3)では球対称な関数に対して臨界Rellich不等式の最良指数や最良定数、達成可能性について明らかにした。この研究で扱ったポテンシャル関数は球対称減少な関数ではないため、球対称再配列の議論Talentiの比較定理を適用することはできない。高階の場合は、球対称再配列の議論以外に球対称化する技術は知られていないのであるが、Hardy型不等式で球対称性の破れが起こるとは考えにくく、おそらく非球対称な関数に対しても同じ結果が成立するものと予想される ため、球対称性を外す方法について考察する。
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