2020 Fiscal Year Research-status Report
Variational problems associated with best constants of functional inequalities in a limiting case
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19K14568
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| Research Institution | Hiroshima University |
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Principal Investigator |
佐野 めぐみ 広島大学, 先進理工系科学研究科(工), 准教授 (70834935)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 最小化問題 / 関数不等式 / 臨界ソボレフ空間 / 非コンパクト / Hardyの不等式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
これまでHardy型不等式及びその他の種々の関数不等式の「最良定数の値」や「付随する最小化問題の達成可能性（不等式の等号成立条件）」に関する研究を行ってきた。Hardy及びSobolev不等式は、偏微分方程式の解を扱う舞台であるソボレフ空間の埋め込みを表し、またそれらのコンパクト性は当該分野で基本的な問題であり、重要である。
令和２年度は領域が球の場合に、古典的なHardy不等式とgeometric Hardy不等式の二つを統合したような新たな形のHardy不等式の導出を行った。この不等式は、これまでの様々なHardy型不等式（Hardy-Sobolev-Mazya不等式等）を最良定数込みで導くものとなっており、統一的な形といえる。さらに、Hardy型不等式の最良定数の値と付随する最小化問題の達成不可能性、virtual extremalの形についても明らかにした。そして既存の変換を一般化することで、新たな形のSobolev型不等式の導出も行った。
また高階への一般化であるRellich不等式についても、このような統一的な新たな形のRellich不等式の導出を試み、L^2の場合もしくはL^pで球対称の場合のみであるが、統一的な形のRellich不等式の導出に成功した。L^pの場合のgeometric Rellich不等式については、２階の場合であっても最良定数の値や達成不可能性は未解決な問題として残っている。本研究をまとめた論文では、これらの未解決問題を含む３つのRellich不等式に関する問題としてまとめた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
これまでの様々なHardy型不等式は、ガウスの発散定理とヘルダーの不等式を用いてシンプルに証明されるものが多い。本研究では従来の証明方法を拡張することで、これらの様々なHardy型不等式を導くような統一的なHardy型不等式の導出に成功した。
さらに、Hardy不等式の高階への一般化であるRellich不等式についても、このような統一的な不等式の導出に成功した。
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| Strategy for Future Research Activity |
本研究では、領域が球の場合に古典的なHardy不等式とgeometric Hardy不等式の二つを統合した形のHardy不等式の導出を行ったが、今後は領域が球でない場合にこのような統一的なHardy型不等式が成立するかどうかについて解析を行う。
またRellich型不等式への一般化に関しても、L^pで球対称性を課さない場合や、領域の境界に特異性をもつ場合の最良定数やその達成不可能性を明らかにすることが今後の課題である。
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| Causes of Carryover |
コロナの影響により、科研費を使用して参加する予定であった研究集会等が中止となったため、次年度使用額が生じた。
翌年度はコロナ禍が落ち着いている期間に出張を行ったり、ハイブリッド型で研究集会を行う等、翌年度分の助成金と合わせて使用する予定である。
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