2020 Fiscal Year Research-status Report

Solvability for a nonlinear heat equation with singular initial data

Research Project

Project/Area Number	19K14569
Research Institution	Shizuoka University
Principal Investigator	藤嶋陽平静岡大学, 工学部, 准教授 (70632628)
Project Period (FY)	2019-04-01 – 2023-03-31
Keywords	半線形熱方程式 / 時間大域可解性 / 時間局所可解性 / 自己相似性
Outline of Annual Research Achievements	半線形熱方程式は拡散過程と反応過程が同時に進行する方程式であり、これらの効果を受け解が時間発展する。拡散効果は解を均一化する働きを持つ一方、反応項は解を増幅させる働きを持つため、解の挙動は様々な様相を呈する。本研究は半線形熱方程式に対する最も基本的な研究対象である、解の存在可能性について研究を行う。特に空間特異性を有する初期値に対して、「解が存在するのか？」という問いを考察し、解が存在するための拡散効果、非線形項の増大度、初期値の特異性の臨界のバランスを明らかにすることが目的である。当該年度の研究では主に方程式系に対する時間局所可解性および一般の半線形熱方程式に対する時間大域可解性を考察した。方程式系に対する可解性については弱連立系と呼ばれる問題に対して、特異な初期値に対する解の存在および非存在を分類し、非線形性の強さによっては単独の方程式では見られない、系の特性が表れる状況についても詳しく解析することができた。特に解の存在のための十分条件、必要条件ともに、可解性のための最適な初期値の特異性を特定する上で充分な条件を導出することができた。一般の半線形熱方程式に対する時間大域可解性については、時間大域解の存在のための条件はすでに前年度までの研究で充分な結果を得ることができていたが、時間大域解が非存在となる状況の解析は不十分であった。非線形項の挙動をより効率的に捉えることにより、ある程度の結果の改善は見られた。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 3: Progress in research has been slightly delayed. Reason 当該年度の研究概要でも述べた、一般の半線形熱方程式に対する時間大域可解性において想定以上に複雑な状況が生じていることが分かった。特に時間大域解が非存在となる状況の解析において、非線形項の挙動を巧みに扱う必要があることが判明した。これらの状況を打開するために共同研究者との綿密な打ち合わせを行う必要があったのだが、新型コロナ感染症の問題により対面での打ち合わせを行うことができなかった。ビデオ会議システムなどを利用し、できる限りのコミュニケーションは行ったが、共同で作業する時間がどうしても削減されてしまい、これらの課題について互いに積極的にアイデアを出し合うという局面までは至らなかった。
Strategy for Future Research Activity	「研究業績の概要」および「現在までの進捗状況」を踏まえ、今後の研究では、解決に至っていない問題の解析を優先的に行う。特に一般の半線形熱方程式に対する時間大域可解性を明らかにすることを当面の目標とする。当該研究課題においては、一般の半線形熱方程式に対する自己相似性と呼ばれる、方程式固有のスケール不変性の欠如が研究の動機になっている。今後の研究では自己相似性が顕著に影響を与える、自己相似解の一般化についても道筋を立てたいと考えている。スケール不変な方程式に対する自己相似解は時間大域解や爆発解などの詳細な挙動を解析する上で欠かせないものであり、一般の方程式に対して自己相似解の対応物の存在およびその有効性が確認できれば、スケール不変性を持たない方程式の解挙動の解析が大きく進展すると考えられる。
Causes of Carryover	新型コロナ感染症の蔓延により、予定していた国内出張および海外出張をすべてキャンセルせざるを得なくなったため。当該年度は感染症の問題の見通しが全く立たなかったため、物品への使用も控えていたことも理由の一つである。次年度使用額については、感染症の問題が収束し、対面での研究集会が開催されるようになった際の出張費として使用する予定である。