2021 Fiscal Year Research-status Report
Solvability for a nonlinear heat equation with singular initial data
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19K14569
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| Research Institution | Shizuoka University |
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Principal Investigator |
藤嶋 陽平 静岡大学, 工学部, 准教授 (70632628)
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2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 半線形熱方程式 / 時間大域可解性 / 時間局所可解性 / 自己相似性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は一般の非線形性を有する半線形熱方程式に対する可解性を論じることである。半線形熱方程式の方程式に付随する相似性に由来して、可解性を特徴付ける初期値が決定される。本研究では自己相似変換の一般化（準自己相似性）に基づき方程式の可解性を特徴付けする。本年度の研究対象は大域可解性の特徴付けである。
本年度の研究では、時間大域可解性についての結果を得ることができた。特に、Fujita指数と呼ばれる冪乗型非線形項に対する臨界指数の一般化を非線形項から定まるある関数に基づき導出し、大域可解性を分ける非線形項の挙動を特徴付けすることができた。さらに冪乗型非線形項では見られない状況が存在することも明らかになったが、その場合には既存の手法が適用できないため、手法の改良が必要であり、今後の課題である。
大域解が存在する状況においても、初期値の空間遠方での減衰が遅い場合には解は有限時間で爆発する。従って、大域解が存在するための初期値の最適な減衰を調べることが新たな問題として挙げられる。冪乗型や指数型などの自己相似性を有する方程式に対する研究から類推すると、その最適な減衰は自己相似解によって決定される。そこで準自己相似性に基づき、冪乗型および指数型方程式に対する前方自己相似解の一般化を考察する必要がある。本年度の研究を通して、そのような一般化が可能であることを明らかにした。次年度には議論の詳細を詰め、論文としてまとめる予定である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究課題の当初の目標であった、「時間局所可解性」および「時間大域可解性」についてこれまでの研究で必要な結果を得ることができた。さらにより詳細な状況を明らかにする前方自己相似解の一般化についても道筋を立てることができたため、研究はおおむね順調に進展していると判断できる。
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| Strategy for Future Research Activity |
これまでの研究で、「時間局所解」および「時間大域解」に対する可解性、そして前方自己相似解の一般化の考察を行ってきた。特に前方自己相似解の一般化を用いて、大域可解性についての詳細な状況を明らかにできると想定される。今後の研究では前方自己相似解の一般化を用いて、大域解が存在するための最適な初期値の減衰を特徴付けする。
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| Causes of Carryover |
感染症の影響が継続し、現地に赴いての研究集会参加が叶わなかった。今年度以降開催される学会や研究集会の参加に次年度使用額を充てる。
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