2020 Fiscal Year Research-status Report
Trudinger-Moser不等式に関連する変分問題とコンパクト性の研究
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19K14571
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| Research Institution | Hiroshima University |
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Principal Investigator |
橋詰 雅斗 広島大学, 先進理工系科学研究科(理), 日本学術振興会特別研究員(PD) (20836712)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | Trudinger-Moser不等式 / 臨界点 / 一意性 / 最良定数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は前年度の研究の継続として劣臨界Trudinger-Moser型汎関数の正値臨界点の一意性に関する研究を行った。前年度行ったDirichlet型の研究に加え、Neumann型の研究も行った。劣臨界Trudinger-Moser型汎関数の正値臨界点はある非局所楕円型方程式の正値解になるため、この楕円型方程式の解析を中心に行った。Neumann型の場合、ある定数関数が楕円型方程式の解となることは知られている。今回、Trudinger-Moser型汎関数の指数が十分小さい場合、正値臨界点は一意であるという結果を得た。従って、指数が十分小さい場合のTrudinger-Moser型汎関数における正値臨界点は定数関数のみであるということが得られる。またこの結果から、変分問題における最良定数を達成する最大化関数も定数関数であるということが得られるため、最良定数の具体的な値も導出することができた。今回の手法を用いることにより、他の指数型非線形項を持つ楕円型方程式の正値解の一意性も得ることができた。
今回Dirichlet型、Neumann型共に得られた結果は指数が十分小さい場合の結果であるが、今回得られた結果を用いて、劣臨界全範囲での臨界点の一意性の結果は適当な条件下では得られるのではないかと考えている。少なくとも、臨界点の中でも最大化関数の一意性は得られると予想している。
今年度は研究集会において3件の講演をし、研究成果の発表を行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
今年度は劣臨界Trudinger-Moser型汎関数の正値臨界点の一意性に関しての結果を得ることができた。Neumann型の問題に関しては、最良定数の一意性に関する結果を得ることもでき、今後、これまで得られた結果の拡張にも期待ができる。また、現在Neumann型における臨界点の漸近挙動に関する研究やその他幾つかの研究も同時に行っており、それらの研究に関しても今後結果が得られることが予想される。もし目標とする結果が得られれば、研究課題の目的を達成する一助となるであろうと期待している。
今年度は昨年度までに比べ、社会的情勢により思うように研究議論の機会を確保することができなかった。しかしながら、今までとは異なる形ではあったが、幾つか参加、講演した研究集会において、研究課題に関連する研究情報やアイデアの議論を行うことができたのは非常に意義のあることであった。今後も研究議論の場は減らすことのないようにしていくべきだと考える。今年度得られた研究結果及び今後の研究成果も期待できることから、研究状況については概ね順調に進展していると考える。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後の研究としては、まず今年度の研究結果の拡張を試みる。Trudinger-Moser型汎関数の指数が劣臨界の範囲であれば、適当な条件下で正値臨界点、もしくは最大化関数の一意性が導出できると予想しているため、まずはこの研究を行っていく。
もう一つの研究として、指数型非線形項を持つ楕円型方程式の解のある量に関する一様有界性の研究も行いたいと考えている。一様有界性を仮定した場合の解の解析については多くの研究があるが、一様有界性に関する研究結果は現在のところない。また、この一様有界性に関する結果は冪型非線形項では既に得られており、実際に解に関して一様有界であることが得られている。これらのことから、もし一様有界が得られた場合は、これまでの研究結果において一様有界性の仮定を外すことができ、全ての解に関しての結果として扱うことができるようになり、また一様有界でないことが得られた場合には、指数型と冪型で異なる結果が得られたことになる。従ってこの研究は指数型非線形項を持つ楕円型方程式に関する重要な研究の一つであると考える。
よって今後の研究として、この二つの研究を主として行っていくことを予定している。
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルスの影響により多くの国際研究集会、国内研究集会が中止となったため。次年度は新たにノートPCを一台購入予定。また研究集会が現地開催された場合の旅費や、オンラインでの研究打ち合わせのために必要な機器の購入、論文・書籍の購入のために使用する予定である。
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Research Products
(3 results)
