2021 Fiscal Year Research-status Report
Trudinger-Moser不等式に関連する変分問題とコンパクト性の研究
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19K14571
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| Research Institution | Hiroshima University |
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Principal Investigator |
橋詰 雅斗 広島大学, 先進理工系科学研究科(理), 助教 (20836712)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | Trudinger-Moser不等式 / 臨界点 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
臨界及び劣臨界Trudinger-Moser型汎関数のNeumann型正値臨界点において、領域のスケールに関するパラメータを導入し、そのパラメータを0もしくは無限大としたときの臨界点の漸近挙動の解析を行った。パラメータを0としたとき、全ての正値臨界点は、その臨界点が満たす楕円型方程式の定数解に漸近するという結果を得た。パラメータを無限大とした場合には最良定数を達成する最大化関数における漸近挙動を考察した。この問題に関しては全空間Trudinger-Moser不等式の変分問題の達成可能性に関連して、Trudinger-Moser型汎関数の指数によって漸近挙動が変わるという結果を得た。具体的には、ある指数を境に、それより指数が大きいと最大点が一意で境界上に位置しエネルギーの凝集が起こるという結果を得、指数が小さいと全ての点で0に収束するという結果を得た。
これらの結果を基に、正値臨界点の最大点と領域の幾何学的性質の関係についても考察した。エネルギーの漸近展開を明らかにし、さらに、最大点は曲率最大の点に漸近していくという結果を得た。また同様の問題をDirichlet境界条件型でも考察した。パラメータを無限大とした場合、Neumann型と同様にある境目となる指数があり、それより指数が大きいと最大点が一意でエネルギーの凝集が起き、指数が小さいと全ての点で0に収束するという結果を得た。さらにDirichlet境界条件型では、最大点は内接円の半径が最大となる点に漸近するという結果を得、ここでNeumann境界条件型とDirichlet境界条件型の違いが得られた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
臨界及び劣臨界Trudinger-Moser型汎関数における正値臨界点の漸近挙動については、目標としていた部分まで解決できた。臨界点の挙動だけでなく、エネルギーの漸近展開、領域の幾何学的性質の影響まで明らかにすることができた。これは非常に大きな進展であると考える。この問題に関しては今回得られた結果を基に一意性の研究に着手していくことを考えている。また、Neumann境界条件型だけでなく、Dirichlet境界条件型においても結果を得、解の漸近挙動に加え、領域の幾何学的性質との関連性も明らかにできたのは大きな進捗だった。このDirichlet問題においても一意性の研究に着手する予定である。
今回この正値臨界点の漸近挙動についての解析を詳細まで行え、次の段階の研究に着手する準備ができたことを考慮し、研究は概ね順調に進展しているとしてよいと判断する。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後の研究としては、まず昨年度行っていた研究の継続として、指数型非線形項を持つ楕円型方程式の解のある量に関する一様有界性の研究を行いたいと考えている。一様有界性を仮定した場合の解の解析については多くの研究があるが、一様有界性に関する研究結果は現在のところない。また、この一様有界性に関する結果は冪型非線形項では既に得られており、実際に解に関して一様有界であることが得られている。これらのことから、もし一様有界が得られた場合は、これまでの研究結果において一様有界性の仮定を外すことができ、全ての解に関しての結果として扱うことができるようになり、また一様有界でないことが得られた場合には、指数型と冪型で異なる結果が得られたことになる。
もう一つの研究として、Adimurthi-Druet型不等式の次元による影響の研究を行いたいと考えている。Adimurthi-Druet型不等式の達成可能性は2次元でのみ特別な状況になることが知られている。この現象を重み付きSobolev空間での不等式を考察し解析することで、本質的な理由が明らかにできると考えている。
今後はこの2つの研究を主に行っていく予定である。
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルスの影響により多くの国際研究集会、国内研究集会が中止となったため。本年度は新たにノートPCを一台購入予定であったが次年度に持ち越した。また研究集会が現地開催された場合の旅費や、オンラインでの研究打ち合わせのために必要な機器の購入、論文・書籍の購入のために使用する予定である。
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Research Products
(7 results)
