2019 Fiscal Year Research-status Report
接触角構造を伴う界面ダイナミクスに対する幾何解析的研究
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19K14572
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
可香谷 隆 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 助教 (60814431)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 曲面の発展方程式 / 漸近挙動 / 接触角 / 変分問題 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
当該研究では，接触角条件を課した曲面の発展方程式に対し，特異性や挙動の解析を進めることを中心課題としている．特に，今年度の成果としては，下條昌彦氏との共同研究によって得られた，ある異なる接触角条件付きの面積保存型曲率流に対する進行波解への収束性理論の改良が挙げられる．上記のモデルに対しては，接触角の端点の場所への依存性を原因として，これまで閉曲線や一定の接触角条件の場合に知られていた変分構造を伴わず，定常解ではなく，進行波解に収束する．それに伴い，手法的にもこれまで用いられてきたリアプノフ関数を応用した安定性理論が適用できないことが問題点であった．この問題に対し，以下の成果を挙げた．尚，本研究は単著論文として既に受理されている．
(1)初期曲線がグラフ表示できる仮定を課さず，一般の曲線に対する解の適切性を示した．適切性を示す際には，法速度のみならず，接速度を考察する必要があったが，曲線の第一基本形式から接速度をコントロールする手法を新たに導出し，本結果に至った．
(2)上記で得られた解に対し，ある仮定の下で，進行波解に収束することを示した．特に，先に挙げた下條昌彦氏との共同研究で課した，初期曲線と進行波解の形状の近さの仮定が必要ない点が特出している．本収束性理論では，これまで用いられてなかった新たな変分構造を発見し，その構造を用いたことによって，証明の遂行を可能とした．特に，本研究で考察した面積保存型曲率流方程式は，非局所項を伴い，故に方程式特有の解析手法が必要であった．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
比較原理が適用できない曲面の発展方程式に対する解の漸近挙動の解析においては，変分構造は特に重要であるため，多次元化等の拡張のためにも，本研究で得られた結果は有益である．本研究課題においては，特異性の解析も目標としているが，別途進行中である．
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| Strategy for Future Research Activity |
本研究課題である，解の特異性と挙動の解析を共に遂行しているため，引き続き研究を進める．特に，特異点近傍における解の挙動解析に関する研究も進めたい．
また，研究集会やセミナーに参加し，他大学の研究者と議論することによって，幾つかの共同研究を開始しため，今後も引き続き当研究課題に関連した研究集会等に参加し，研究成果の情報発信，及び情報収集を行う予定である．
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