2020 Fiscal Year Research-status Report
接触角構造を伴う界面ダイナミクスに対する幾何解析的研究
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19K14572
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
可香谷 隆 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 助教 (60814431)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 曲面の発展方程式 / 接触角 / 自由境界値問題 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究では，接触角条件付きの曲面の発展方程式の解析を目的としている．本年度は，これまで研究していた非均一な接触角条件付き面積保存型曲率流に対する漸近挙動解析の結果の改良に関する論文が掲載された．本研究では，上記の方程式に対する新しいエネルギー構造を発見し，進行波解の大域的な安定性を示している．ただし，本研究におけるリアプノフ関数は凸な曲線に対してのみ定義できる関数であり，凸な曲線で構成される空間内における大域的な安定性を示したこととなる．この結果により，本研究の目的の一つである，接触角構造に依存した解の漸近安定性の解析が進んだ．
また，本研究のもう一つの目的である，動く曲面が領域に衝突した際の特異性の解析を目標とした，発散型ノイマン境界条件付きの冪型曲率流方程式に対する解の存在性・非存在性，及び，その解の漸近挙動の解析を行った．上記の方程式は完全非線形方程式であり，特に，高階微分を含む主要項の係数に，勾配の不冪が現れる．その冪の指数に依存して，境界での瞬間的な解の爆発が起こるか，または時間大域解が存在して，進行波解に収束することを明らかにした．また，この構造は冪型曲率流方程式のみならず，より一般化した方程式に対しても，同じ構造があることも明らかにしている．本研究は福岡大学の柳青氏との共同研究であり，現在論文誌に投稿中である．本研究ではグラフ表示を仮定した際の，領域の境界付近での，曲線の挙動の解明を行ったことになるが，一般の場合においても，曲面や曲線が領域に衝突した際の挙動解析に繋がる結果だと考えている．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本年度で解析を行った，発散型ノイマン境界条件付きの冪型曲率流方程式に対する解の存在性・非存在性，及び，その解の漸近挙動の解析は，より一般的な方程式を含めて解析を行っているため，当初の目的よりも汎用性の高い解析結果である．一方，本研究の目的のみに着目すると，より一般的な次元，領域の形状に対する理論へ拡張する必要があり，当初の計画以上に進展しているとは判断できない．したがって，概ね順調に進展していると判断した．
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| Strategy for Future Research Activity |
発散型ノイマン境界条件付きの冪型曲率流方程式に対する解析結果は，より一般的な次元，領域の形状に対する理論への拡張を行い，さらに，動く曲面が領域の境界に衝突した際に発生する特異性の解析まで発展させることを試みる．また，それと並行して，本研究の当初の目的通り，非一様な接触角条件が与える解の漸近挙動への影響のより詳細な解明，特に，これまで研究してきた非均一な接触角条件を貸した曲線流に対する解析結果に対し，一般次元の曲面に対する理論への拡張，及び未解明な進行波解の安定性解析を行いたい．また，これまで90度の接触角条件の場合にしか確立されていなかった，Brakke解の構成法についても，より一般的な接触角の場合への拡張にも取り組みたい．
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルスの影響で思うように研究集会等への参加に伴う出張ができなかったため．書籍，パソコンやタブレット等の研究に必要な機器，オンラインでの研究集会や打ち合わせで必要な有料アカウントやアプリの購入に使用する予定である．
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Research Products
(6 results)
