2020 Fiscal Year Research-status Report

Hausdorff容量を用いた関数空間の研究

Research Project

Project/Area Number	19K14577
Research Institution	Nihon University
Principal Investigator	齋藤洋樹日本大学, 理工学部, 助教 (20736631)
Project Period (FY)	2019-04-01 – 2022-03-31
Keywords	荷重付Hausdorff容量 / 分数冪積分作用素 / capacity / Besov空間 / Choquet空間
Outline of Annual Research Achievements	令和2年度における研究により, いくつか明らかになった事実があるが, まだ論文としてまとめる成果となっていない. 本研究は荷重付きHausdorff容量による種々の関数空間とその上に定義された作用素を研究することを目的とするが，令和元年度における研究により明らかになった荷重なしの結果について, そのいくつかを拡張することができることがわかった. (1) 本研究課題のテーマの一つに荷重付きBesov空間から得られる容量(capacity)とHausdorff容量の関係を見出すことがある. そのためには, Besov空間にどのような形で荷重を付与するべきかという問題があった. これついては, 混合ノルムl^{q}(L^{p})のL^p空間の部分に対し荷重を付与することにより, 荷重付きHausdorff容量と特徴づけられることがわかった. このBesov空間をB_{pq}^{sw}と書くことにすると、我々の問題はXiaoの結果の拡張が目的であるのでp=q=1の場合を考える. このとき, Huy-Bui-Quiの結果を適用することで, B_{11}^{sw}の双対空間を特徴づけることができることが明らかになった. 以上から(n-s)次元の荷重付きHausdorff容量によるChoquet積分はB_{11}^{sw}のノルムで評価(埋め込み)できるであろうと予想している. しかしながらその事実の証明の最後の局面で困難に当たっており, まだ論文としてまとめる段階に至っていない. この予想は正しいであろうという確証は得ており, 近日中に問題を解決し投稿する予定である. (2) 上記の特徴づけで重要な役割を果たす荷重付Besov容量と荷重付Hausdorff容量の関係であるが, 荷重付Besovノルムによって単位球の大きさを測る技術が必要である. こちらも(1)と並行して研究を進めている.
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 3: Progress in research has been slightly delayed. Reason 令和2年度はコロナ禍の影響により教育方法の大きな変革に対応すべく大変苦慮した. 特に授業期間中は本研究課題に時間を取ることができなかった. 前述の研究実績は限られた授業休業期間中に見出したものである. 例年の1/3ほどの時間しかなかったため, 予定よりも研究の進行が遅れており, 令和2年度で予定している計画の1/3までの進行にとどまった. 予定では「研究実績の概要」における『困難』の部分の証明を完成させ, 荷重付きBesov容量とHausdorff容量との関係を明らかにしている段階であるはずだった.
Strategy for Future Research Activity	研究計画に変更の必要はなく, 遅れを取り戻すよう最善を尽くす. (1)(n-s)次元の荷重付きHausdorff容量によるChoquet積分はB_{pq}^{sw}のノルムで評価(埋め込み)できるという予想の証明には, 合成積に対する荷重付Youngの不等式を取り扱うのによく似た状況が起こっており, それが困難となっている. しかし, 荷重にMuckenhoupt A_1条件を仮定しているなどの特殊性から肯定的に解決できると確信しており, 解決ののち, 論文として投稿する予定である. (2)上記に続き, 計画通りL^p(w)型の荷重付きBesov空間を用いて定義されるcapacityの研究を行う．荷重付きBesov空間に稠密な滑らかな関数の特徴付けはHuy-Bui-Quiの研究を修正することで得られる．これらの研究により，Carlesonの埋め込み定理のひとつの拡張を得ることができると考えている． (3)荷重付Besovノルムによって単位球の大きさを測る技術を開発し, 荷重付Besov容量と荷重付Hausdorff容量の同値性を示す. これにより, Xiaoが示したBesov空間のLorentz空間への埋め込み定理に荷重を付けて拡張することができる.
Causes of Carryover	昨年度はコロナ禍の影響で国際会議や国内会議はすべてオンラインで行われた. そのため使用計画にあった旅費が残った. 一部はオンライン会議に参加するための最低限の要件を揃えるために使用した. 令和3年度で状況が変わらない場合, オンライン会議への参加・講演・情報収集のために必要かつ十分な機材・環境を整えるため, 旅費を使用することも必要であると考える.