2023 Fiscal Year Annual Research Report
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19K14577
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| Research Institution | Nihon University |
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Principal Investigator |
齋藤 洋樹 日本大学, 理工学部, 准教授 (20736631)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | Hausdorff容量 / Choquet空間 / 分数冪極大関数 / Rieszポテンシャル / Morrey空間 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究は荷重付きHausdorff容量による種々の関数空間を研究することが目的である．本研究課題を遂行し，以下の成果を得た．
(1) 荷重付きHausdorff容量で定義されたChoquet-Lorentz空間上で分数冪極大関数とRieszポテンシャルの有界性を示し，前者についてはFefferman-Stein型不等式を証明した．またChoquet空間の双対空間がBorel測度のMorrey空間で決定されるというAdamsの主張には，その証明に誤りがあることがわかった．この点について反例とともに指摘し，別証明を与えた．
(2) (1)で得られた双対空間の応用として，endpointの荷重付きBesov空間の荷重付きChoquet空間への埋め込み定理を示した．これは自然数階の微分の荷重付きL^pノルムがChoquetノルムを評価するもので，Besov空間への埋め込み定理はそれを一般の分数冪に拡張するものである．
(3) Hausdorff容量H^dを原料にしたweak L^p空間をShilkret積分の形で定義すると，Orobitg-Verderaの極大関数の有界性(end point)に関する結果は，Choquet空間から弱Choquet空間への有界性と理解できる．先行研究において，Lebesgue空間の場合(d=n)にはKolmogorovの不等式を利用することで，弱空間から弱空間へ有界となることが示された．この知見をもとに，Hausdorff容量による弱Choquet空間に拡張できることを証明した．さらに，この結果は分数冪極大関数さらにはRiesz ポテンシャルにまで拡張されることも示した．Kolomogorov型の不等式は精密に議論することで，Choquet-Morrey空間へとこれらの議論を推し進めることができた．
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