2021 Fiscal Year Research-status Report
反応拡散系のパターンダイナミクスに対する非一様性・非局所性との関係
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19K14588
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
山本 宏子 東京大学, 大学院数理科学研究科, 助教 (10759153)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 反応拡散系 / 安定性問題 / 非局所発展方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
非局所発展方程式は積分項を含む積分微分方程式で表され，neural field modelやconvolution modelなどがある．非局所発展方程式は単独の方程式でありながらパルス解の存在が示されており，数学的にも非常に興味深い方程式である．
本研究ではまず第一に，通常の反応拡散系に対する斉次境界値問題に対する定常解や進行波解の安定性問題を考え，線型化作用素のスペクトル問題に対するEvans関数の構成を行った．これは所謂，Fredholm行列式によって定義される解析的関数であり，Deng・新居(2006)が構成したものと同様の性質を持つものである．Robin境界条件や周期境界条件の場合を含むようにEvans関数の構成を行っており，現在，論文にまとめている最中である．また，本研究は明治大学の関坂歩幹氏との共同研究である．
次に，畳み込み積分を含む反応拡散方程式の定常解・進行波解に対する安定性問題を考えた．これまでの研究では積分核がコンパクトになる場合を考えていたが，畳み込み積分を扱う場合にはこれが示されないことが分かった．従って，畳み込み積分を含む項にある係数関数を加えて修正し，積分核がコンパクトになることを示した．また解の積分表示をする際に，畳み込み積分の定義の関係で，Deng・新居(2006)と同様には扱えない部分があったため修正した．本研究では，非局所発展方程式に対する反応拡散近似との関係も調べており，非局所反応拡散方程式の解に対する線型化作用素の固有値が存在するならば，近似方程式に対する線型化作用素の固有値も十分近くに存在することが分かった．これに関しては，2021年度応用数学合同研究集会で発表済みであり，論文にもまとめている最中である．これらの研究に関しても，関坂歩幹氏 (明 治大学) との共同研究である.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
1次元Euclid空間上の非局所反応拡散方程式の定常解・進行波解に対する線型化作用素のスペクトル問題を考えた際に，想定していた積分核に対して，コンパクト性が得られないことが分かった．これにより，一般に無限次元Evans関数の構成がなされなかったため，積分核の項を修正する必要があったため，やや遅れている．
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| Strategy for Future Research Activity |
空間非一様性を含む反応拡散系の安定性解析に関しては，反応拡散系に対する斉次境界値問題と同様にできると考えられるので，どのような変数係数を選ぶかも含めて安定性解析を行う．
非局所反応拡散方程式に対する安定性解析を行う際に，反応拡散近似が有用であると考えられるため，近似方程式に進行波解が存在した時に，非局所反応拡散方程式も進行波解が存在するかどうかを調べる．これを示した後に安定性問題を考えて，近似方程式の解に対する線型化作用素に固有値があるかどうかを調べるだけで，非局所反応拡散方程式の解の安定性を調べる方法をつくる予定である．
非局所反応拡散方程式に対して，数値計算により空間周期解を得ることができ，さらに係数パラメータを変えると，時空間周期解が得られている．このような時空間周期解の分岐についても扱う予定である．
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| Causes of Carryover |
国内外の研究集会が新型コロナウイルスの流行を受けてほとんどオンラインで開催されたため，研究成果発表や情報収集のための旅費が使用できず，次年度使用額が生じた．旅費の未使用分に関しては，論文校正費・投稿費や，本の購入などの研究資料を充実させるために用いる予定である．
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Research Products
(3 results)
