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2019 Fiscal Year Research-status Report

Finite element methods for nonlinear partial differential equations on curved domains

Research Project

Project/Area Number 19K14590
Research InstitutionNagoya University

Principal Investigator

剱持 智哉  名古屋大学, 工学研究科, 助教 (80824664)

Project Period (FY) 2019-04-01 – 2023-03-31
Keywords有限要素法 / 線形偏微分方程式 / 数値解析 / 応用数学 / 楕円型方程式 / 放物型方程式
Outline of Annual Research Achievements

今年度は, 滑らかな領域における楕円型方程式・放物型方程式に対する有限要素法に関する論文 (2編) を出版した. 楕円型方程式の成果は, 滑らかな領域における有限要素法に対する誤差評価を行い, 期待される誤差評価を得た. 放物型方程式の成果は, 有限要素法による空間離散化に関して, 最大正則性などのアプリオリ評価を得た. これらの成果は, 有限要素法の研究において基礎的な成果であり, 滑らかな領域における有限要素法の研究の基盤を築いたと言って良い. 非線形偏微分方程式への応用も十分に期待できる成果である.
これらの成果の続きとして, 滑らかな領域における4階楕円型方程式に対する有限要素法や, 放物型方程式の不連続Galerkin法による時間離散化に関して研究を行い, 一定の成果を得ている. そもそも, 楕円型偏微分方程式に対する有限要素法の研究は, 主として2階の楕円型方程式を対象にしたものばかりである. そのため, 4階楕円型方程式に対する研究は, それ自身に意義がある. また, 放物型方程式に対しては, 最大値ノルムによる誤差評価を得ることに成功している. この成果は, 最大正則性などのアプリオリ評価や, 非線形方程式への応用が可能であると期待できる. これらの成果は, 次年度以降にブラッシュアップをし, 論文にまとめる予定である.
その他, Allen-Cahn方程式に対する数値解析の成果や, Strang splitting法と呼ばれる時間離散化手法に対する成果, および, 行列方程式に対する成果をまとめた論文 (計4編) も出版された.

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

2階の楕円型方程式に関してはほぼ完了したと言ってよく, 放物型方程式に対しても, 予定通り空間離散化が完了し, 時間離散化に着手したところである. したがって, 線形の偏微分方程式に対して順調に研究が進んでいると評価できる.

Strategy for Future Research Activity

引き続き線形の偏微分方程式に対する研究をすすめる. ある程度成果を得ることができたら, 非線形方程式への応用を考察する.

  • Research Products

    (13 results)

All 2020 2019

All Journal Article (6 results) (of which Peer Reviewed: 6 results) Presentation (7 results) (of which Int'l Joint Research: 2 results,  Invited: 3 results)

  • [Journal Article] On a transformation of the ?-congruence Sylvester equation for the least squares optimization2020

    • Author(s)
      Satake Yuki、Sogabe Tomohiro、Kemmochi Tomoya、Zhang Shao-Liang
    • Journal Title

      Optimization Methods and Software

      Volume: - Pages: 1~8

    • DOI

      10.1080/10556788.2020.1734004

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Stability, analyticity, and maximal regularity for parabolic finite element problems on smooth domains2020

    • Author(s)
      Kashiwabara Takahito、Kemmochi Tomoya
    • Journal Title

      Mathematics of Computation

      Volume: 89 Pages: 1647~1679

    • DOI

      10.1090/mcom/3500

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Pointwise error estimates of linear finite element method for Neumann boundary value problems in a smooth domain2020

    • Author(s)
      Kashiwabara Takahito、Kemmochi Tomoya
    • Journal Title

      Numerische Mathematik

      Volume: 144 Pages: 553~584

    • DOI

      10.1007/s00211-019-01098-8

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Modified Strang splitting for semilinear parabolic problems2019

    • Author(s)
      Nakano Kosuke、Kemmochi Tomoya、Miyatake Yuto、Sogabe Tomohiro、Zhang Shao-Liang
    • Journal Title

      JSIAM Letters

      Volume: 11 Pages: 77~80

    • DOI

      10.14495/jsiaml.11.77

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Numerical Analysis of the Allen-Cahn Equation with Coarse Meshes2019

    • Author(s)
      Tomoya Kemmochi
    • Journal Title

      J. Math. Res. Appl.

      Volume: 39 Pages: 709~717

    • DOI

      10.3770/j.issn:2095-2651.2019.06.014

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Relation between the T-congruence Sylvester equation and the generalized Sylvester equation2019

    • Author(s)
      Satake Yuki、Oozawa Masaya、Sogabe Tomohiro、Miyatake Yuto、Kemmochi Tomoya、Zhang Shao-Liang
    • Journal Title

      Applied Mathematics Letters

      Volume: 96 Pages: 7~13

    • DOI

      10.1016/j.aml.2019.04.007

    • Peer Reviewed
  • [Presentation] 重調和方程式に対するC0内部ペナルティ法の解析2019

    • Author(s)
      剱持智哉
    • Organizer
      若手応用数学研究会
    • Invited
  • [Presentation] Scalar auxiliary variable approach の紹介とその拡張2019

    • Author(s)
      剱持智哉
    • Organizer
      RIMS共同研究 (公開型) 諸科学分野を結ぶ基礎学問としての数値解析学
    • Invited
  • [Presentation] Hamilton 系に対する SAV 法2019

    • Author(s)
      剱持智哉
    • Organizer
      日本数学会2019年度秋期総合分科会
  • [Presentation] Hamilton 系に対する SAV 法2019

    • Author(s)
      剱持智哉
    • Organizer
      日本応用数理学会2019年度年会
  • [Presentation] Structure-preserving numerical scheme for the area-preserving curve shortening flow2019

    • Author(s)
      Tomoya Kemmochi
    • Organizer
      The 9th International Congress on Industrial and Applied Mathematics (ICIAM 2019)
    • Int'l Joint Research
  • [Presentation] Maximum norm error estimates for linear finite element semi-discretization of parabolic problems on smooth domains2019

    • Author(s)
      Tomoya Kemmochi and Takahito Kashiwabara
    • Organizer
      Conference on Mathematical
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Hamilton 系に対する SAV 法2019

    • Author(s)
      剱持智哉
    • Organizer
      第48回数値解析シンポジウム (NAS2019)

URL: 

Published: 2021-01-27  

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