An Operator Theoretic Approach to Quantum Walks

2020 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 19K14596
• Research Institution: Kokushikan University
• Principal Investigator: 布田 徹 国士舘大学, 理工学部, 講師 (40824347)
• Project Period (FY): 2019-04-01 – 2023-03-31
• Keywords: 量子ウォーク / スペクトル理論 / ヒルベルト空間 / 作用素論 / 量子探索問題

Outline of Annual Research Achievements

2020年度は、以下を行った。
（1）2019年度から引き続いた、一欠損を持つd次元2d状態スプリット・ステップ量子ウォークの discriminant 作用素のスペクトル表示などに関する研究を練り上げ、論文としてまとめた。本研究は、信州大学の鈴木氏、横浜国立大学の成松氏、神奈川大学の斎藤氏との共同研究である。d次元2d状態スプリット・ステップ量子ウォークは2010年のKitagawaらのスプリット・ステップ量子ウォークを一般化したモデルであり、本研究で扱ったモデルは従来手法で扱うことのできなかったコイン作用素に関するある条件が課されている。本研究結果は現在投稿中である。
（2）Ising モデルにおける基底状態の探索を量子ウォークを用いて行う研究を開始した。本研究は、2020年度より新たに開始した研究であり、北海学園大学の船川氏、信州大学の鈴木氏、atama plus 株式会社の半田氏、滋賀大学の浅原氏との共同研究である。量子ウォークを用いた探索問題としては既に Grover や Szegedy の方法が知られているが、本研究では古典 Ising モデルの基底状態に対する探索問題を、量子ウォークのスペクトル写像定理を用いて解析する。その目的のため、古典 Ising モデルに対応する量子ウォークのモデルの構成に際しては、詳細つりあい条件を仮定し、古典 Ising モデルの推移確率行列が量子ウォークのスペクトル写像定理における discriminant 作用素とユニタリ同値であることを示した。これにより、古典 Ising モデルにおける探索問題が、量子探索問題へと書き換えられた。現在、長時間経過後の量子ウォーカーの存在確率を下から評価すべく、研究を継続中である。

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

当初の計画では想定していなかった Ising モデルにおける基底状態の探索を量子ウォークを用いて行う研究が開始され、研究計画が一部変更されたため現在までの進捗状況は「やや遅れている」と評価した。

Strategy for Future Research Activity

Ising モデルにおける基底状態の探索を量子ウォークを用いて行う研究において、長時間経過後の量子ウォーカーの存在確率の下からの評価を完成させ、量子探索問題への量子ウォーク応用の研究を前進させる。

Causes of Carryover

新型コロナウイルス感染拡大の影響で、参加予定だった学会・研究集会の多くがキャンセルまたはオンライン開催になり、旅費支出が減ったことにより次年度使用額が生じた。使用計画は次年度以降の新型コロナウイルスの感染状況に依存するが、関連する学会・研究集会が開催されれば発表・情報収集のために参加予定である。