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2019 Fiscal Year Research-status Report

反応拡散方程式系によって生成される界面運動と伝播の研究

Research Project

Project/Area Number 19K14602
Research InstitutionJapan Women's University

Principal Investigator

兼子 裕大  日本女子大学, 理学部, 助教 (40773916)

Project Period (FY) 2019-04-01 – 2023-03-31
Keywords反応拡散方程式 / 自由境界問題 / 漸近挙動 / 界面運動 / 伝播
Outline of Annual Research Achievements

自然界における種々の現象は,反応拡散方程式系で記述される.本研究の目的は,反応拡散方程式系によって生み出される時空間パターンの内,界面運動および伝播に注目し,その生成メカニズムを解明することである.
本年度は生物種の侵入現象を表す反応拡散方程式の自由境界問題に対して,(a)空間1次元で正値双安定項を伴う問題および(b)多次元球対称領域で(a)と同じ反応項をもつ問題について研究した.ここで,正値双安定項とは0と2つの正の安定平衡点を含む4つの平衡点をもつ非線形項である.
(a)について,2つの安定点を結ぶ進行波と自由境界付近の解挙動を記述するSemi-waveの組合せからなるPropagating terraceの形状を伴う伝播について,証明の確認を経て論文が掲載された.これによって,2段階の伝播(小集団が定着した後に大集団が押し寄せる)形態について理論的に明らかにした.一方で,ディリクレ境界条件における解の漸近挙動について,解の分類や自由境界の拡大速度に関する証明の点検を経て,論文が掲載された.
(b)については,空間多次元において球対称領域に限定して解の漸近挙動を調べた.この問題では非線形項が複数の零点をもつため,定常問題に現れる楕円型方程式の解の分類を精密に行うことが重要であった.このとき,解の漸近挙動についてBig spreading(大発生),Small spreading(小発生),Transition(遷移状態),Vanishing(侵入収束)の4種に分類し,SpreadingとTransitionの場合に,侵入前線(界面)の拡大速度を求めた.
研究成果(a)については大分大学解析セミナー,岐阜数理科学セミナー等で発表した.(b)についてはRIMS研究集会,発展方程式研究会にて発表した.

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

本研究課題の目標は,[1]2次元以上の領域における生物の侵入現象を表す数理モデルに対して,界面運動と伝播の仕組みを明らかにすること,[2]生物侵入モデルに対して,反応項や拡散項が界面運動と伝播に与える影響について明らかにすること,[3]反応拡散方程式系で表される様々な現象における界面運動と伝播について比較・検討することである.初年度のそれぞれの達成度は,[1] 30%,[2] 70%,[3] 10% であるため,おおむね順調に進展していると考える.
[1]については,概要(b)で述べたように球対称領域に限定すると解の漸近挙動について分類できた.一方で,一般領域に関してはまだ期待する成果が得られていない.[2]については,正値双安定項のもとで解の漸近挙動の分類や2段階伝播という興味深い結果が得られ,2編の論文にまとめることができた.[3]については,生物侵入モデルと比較対象となる数理モデルが定まっていないことが理由である.一方で,反応拡散方程式系と実験の融合に関するワークショップに参加し,生命科学に関連する数理モデルを含む候補をいくつか挙げることができた.

Strategy for Future Research Activity

次年度は,[1]に関してまず概要(b)で述べた球対称解の漸近挙動について,証明の点検を行い論文の完成を目指す.次に一般領域の場合に対しても解の漸近挙動について研究する.このとき,既存の球対称解を優解・劣解として活用できる.またBig Spreadingの場合,概要(a)で述べたようなPropagating terraceを伴う伝播形態が期待できる.まずは球対称領域において,テラス型の伝播形態が現れることを示したい.これは[1]-[2]に関係する研究である.[2]に関しては,ディリクレ境界条件の元で2段階伝播が起こることを示す.[3]については,生物侵入モデルと比較研究可能な対象を選定し,文献調査によって界面運動と伝播に関する課題を挙げ,目標を定めるところまで進展させたい.

  • Research Products

    (7 results)

All 2020 2019

All Journal Article (2 results) (of which Peer Reviewed: 2 results) Presentation (5 results) (of which Int'l Joint Research: 1 results,  Invited: 4 results)

  • [Journal Article] Asymptotic profiles of solutions and propagating terrace for a free boundary problem of nonlinear diffusion equation with positive bistable nonlinearity2020

    • Author(s)
      Yuki Kaneko, Hiroshi Matsuzawa, Yoshio Yamada
    • Journal Title

      SIAM Journal on Mathematical Analysis

      Volume: 52 Pages: 65-103

    • DOI

      https://doi.org/10.1137/18M1209970

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Free boundary problem for a reaction-diffusion equation with positive bistable nonlinearity2020

    • Author(s)
      Maho Endo, Yuki Kaneko, Yoshio Yamada
    • Journal Title

      Discrete and Continuous Dynamical Systems, Series A

      Volume: 40 Pages: 3375-3394

    • DOI

      doi: 10.3934/dcds.2020033

    • Peer Reviewed
  • [Presentation] Positive bistable項を伴う反応拡散方程式の解の伝播形状について2019

    • Author(s)
      兼子裕大
    • Organizer
      第7回大分大学解析セミナー
    • Invited
  • [Presentation] 反応拡散方程式の自由境界問題に現れるtwo-stage spreading2019

    • Author(s)
      兼子裕大
    • Organizer
      第88回岐阜数理科学セミナー
    • Invited
  • [Presentation] 反応拡散方程式の自由境界問題に現れる伝播現象について2019

    • Author(s)
      兼子裕大
    • Organizer
      第7回理学セミナー
    • Invited
  • [Presentation] Asymptotic behaviors of radially symmetric solutions to a free boundary problem with positive bistable nonlinearity2019

    • Author(s)
      Yuki Kaneko
    • Organizer
      RIMS Symposium "Qualitative Theory on Nonlinear Partial Differential Equations"
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] 反応拡散方程式の自由境界問題に対する 球対称解の漸近挙動2019

    • Author(s)
      兼子裕大
    • Organizer
      第45回発展方程式研究会

URL: 

Published: 2021-01-27  

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