2021 Fiscal Year Research-status Report
反応拡散方程式系によって生成される界面運動と伝播の研究
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19K14602
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| Research Institution | Japan Women's University |
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Principal Investigator |
兼子 裕大 日本女子大学, 理学部, 助教 (40773916)
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2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 反応拡散方程式 / 自由境界問題 / 漸近挙動 / 正値双安定 / テラス解 / transition |
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| Outline of Annual Research Achievements |
2021年度は生物種の侵入現象を表す反応拡散方程式の自由境界問題に対して，(a)非線形項f(u)が正値双安定かつ領域が球対称の場合，(b)f(u)が多安定かつ1次元領域の場合，(c)f(u)が正値双安定かつ一般多次元領域の場合について研究した。この自由境界問題における未知関数は「生物種の個体数密度u」と「生息領域の境界(自由境界)」の2つである。
(a)については，f(u)が2つの正の安定平衡点を持つ場合における解の漸近挙動の分類に関する論文が掲載された。校正過程において，Transitionと呼ばれる解の挙動が1つの初期値のみで起こることを示す部分に重要な修正を施した。さらにこの論文に続き，自由境界の漸近速度評価と球対称仮定下でのテラス解への収束に関する結果をまとめ，投稿した。
(b)については，f(u)がn個の正の安定平衡点を持つとき，n個のSpreading挙動(生息領域が無限に広がり，uが対応する平衡点に収束する)が現れるかについて調べた。この問題でさらに重要なことは，領域全体で解がどのようなテラス形状に収束するか(テラス解の伝播形態)について明らかにすることである。この点について，対応する進行波の問題とSemi-wave問題の相平面解析を行った。一方で，ディリクレ境界条件を課す自由境界問題に現れるテラス解の挙動についても証明を進め，概要を示した。
(c)については，f(u)が2つの正の安定平衡点を持ち領域に球対称性を仮定しない場合に，自由境界問題に対する解の漸近挙動の分類について議論し，証明の概要をまとめた。なお研究(a),(c)は松澤寛教授(神奈川大学)と山田義雄教授(早稲田大学)との共同研究である。
(a)に関する研究成果について，OCAMIワークショップ，九州関数方程式セミナー，第16回非線形偏微分方程式と変分問題，RIMS共同研究において発表した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
本研究課題の目標は，[1]2次元以上の領域における生物の侵入現象を表す数理モデルに対して界面運動と伝播の仕組みを明らかにすること，[2]生物侵入モデルに対して反応項や拡散項が界面運動と伝播に与える影響について明らかにすること，[3]反応拡散方程式系で表される様々な現象における界面運動と伝播について比較・検討することである。2021年度までのそれぞれの達成度は，[1] 50%，[2] 100%，[3] 20% であるため，当初の計画よりやや遅れている。一方で，[2]については当初の計画以上に進展している。
2021年度も新型コロナウィルス感染拡大に伴う大学の遠隔運営や遠隔授業への対応に力を注いだが，オンラインの研究集会で情報収集および成果報告をすることができた。[1]では正値双安定項を伴う一般多次元での自由境界問題について，予想していた結果の一つを具体的な定理の形に表すことができた。[2]については初年度にテラス解の伝播形態が明らかになり，球対称領域でもテラス解の自然な拡張を得ることができたため，現時点で当初の計画は達成された。2021年度は，当初の計画にないテーマにも取り組み始めた。具体的には，空間1次元のテラス解との比較における空間次元の影響，非線形項の零点数の効果，境界条件の影響などである。[3]については，問題の選定を完了した段階である。
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| Strategy for Future Research Activity |
次年度は，まず[2]に関して概要(a)で述べた「自由境界の漸近速度評価と球対称仮定下でのテラス解への収束」について論文の掲載を目指す。次に概要(b)で述べた「非線形項f(u)が多安定の場合のテラス解の伝播形態」と「ディリクレ境界条件下でのテラス解の伝播形態」について，成果をまとめて投稿する。次に[1]に関して概要(c)で述べた「一般多次元領域での自由境界問題」について，f(u)が正値双安定かつ領域が球対称の場合に得られている結果を拡張し，投稿に向けた準備を行う。[3]については，[1]-[2]の研究を優先し進度を調整する。
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| Causes of Carryover |
現地開催予定であった国内の研究集会がオンライン開催に変更され，旅費を使用しなかったため。次年度参加予定の研究集会のための旅費に充当する。
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