2018 Fiscal Year Annual Research Report
Geometric structures on surfaces and representations into Lie groups
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18H05833
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| Allocation Type | Single-year Grants |
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
馬場 伸平 大阪大学, 理学研究科, 准教授 (40822870)
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| Project Period (FY) |
2018-08-24 – 2020-03-31
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| Keywords | 複素射影構造 / タイヒミュラー空間 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
複素射影構造の退化に関する研究で進展があった。（複素）射影構造は、リーマン面上の２次正則微分と対応する、曲面上の幾何学構造（正確には局所等質構造）である。また射影構造は、曲面の基本群（曲面群）からPSL(２、C)への表現をホロノミー表現としてもつ。曲面のトポロジーを固定した時の射影構造の変形空間とロホノミー表現の空間（指標多様体）の関係についての研究を行なった。
具体的には変形空間内で無限大に発散する射影構造の道の幾何学的な極限を特定の設定のもで与えた。条件として、対応するホロノミーの道が指標多様体内で収束する過程のもとで考えた。この問題設定の下では、射影構造上の複素構造もタイヒミュラー空間内で無限大に発散していることがよく知られている。この問題は、ホロノミー表現が離散とは限らない設定のもとでは、本質的な研究がされていなく、興味深い。基本的な場合として、さらに複素構造が１つの輪に沿って潰れていることをさらに仮定して、幾何学的な極限をいくつかの異なる観点から極限を与えた。現在論文を執筆中である。
別の研究として、（印付の）リーマン面空間であるタイヒミュラー空間でのタイヒミュラー測地線の挙動を共同研究者との研究に研究し着実な進展があった。タイヒミュラー空間は一般の非正曲率空間と類似性が研究課題である。しかし、とても複雑な空間で、測地線も対応する縦方向のFoliationの力学的な複雑さに伴い、捉えづらい挙動するものが少なからずあることが知られている。さらに進展を推し進めることで、タイミュラー空間の測地線の複雑な挙動を統一的理解することにつながることが期待される。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
射影構造の退化について一定の結果が得られた。タイヒミュラー測地線の理解も深まった。
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| Strategy for Future Research Activity |
射影構造に関する論文を書き上げ、またより一般の射影構造の退化を理解する。本年度のタイヒミュラー測地線の進展をもとに、明確な結果にする。
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