2019 Fiscal Year Research-status Report
Geometric structures on surfaces and representations into Lie groups
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19K21023
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| Allocation Type | Multi-year Fund |
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
馬場 伸平 大阪大学, 理学研究科, 准教授 (40822870)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 複素射影構造 / 双曲幾何学 / リーマン面 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は、主に曲面上の複素射影構造の研究に大いに進展があった。複素射影構造とは局所的には、リーマン球面上に自然にモデルされる幾何学構造（正確には局所等質構造）である。リーマン面の幾何学、双極幾何学、曲面群のリー群への表現などと関連しており、古くから研究されている興味深い構造である。
幾何構造の退化とは、より一般の幾何学的対象への極限を理解することである。前年度に引き続きある種、の複素射影構造の退化の研究を続け、結果をプレプリントにまとめた。ホロノミー表現が離散表現である場合は、三次元双曲多様体との関係で射影構造の退化が研究されてきた。本研究では離散とは限らないホロノミーも考えることで、新しいタイプの退化を発見することができた。この研究を発展させることで、非離散表現の幾何学の理解を深めることができると期待できる。
より正確には複素射影構造の発散する道で、ホロノミー表現が収束する場合の特徴づけを行なった。本研究では、複素構造のが１つの輪に沿って退化することを仮定して行ったが、様々な観点からその極限を理解できたことが面白い。また仮定した条件を除いても成り立つ可能性がある部分もあり、発展性が期待される。
曲面のトポロジーを固定した時の射影構造全体の空間は変形空間と呼ばれる。この変変形空間には、Thurstonパラメターと呼ばれる、3次元双曲幾何を使ったパラメター付がある。今年度はこのパラメーターのサーベーを書いた。また、その観点から、いくつかの射影構造の基本的な定理の別証明を与えた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
複素射影構造に関した、ある一定の結果た得られ結果をプレプリンを２本完成した。特に、射影構造の退化は繊細な現象をよく理解できたと思う。
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| Strategy for Future Research Activity |
本年度まとめた研究結果を出版する。また、発展させることで、より強い結果が得られると期待できる。
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| Causes of Carryover |
本研究課題の複素構造の退化に関するプレプリントをarXivに掲載した。退化の複雑さが理解されたが、より強い結果が得られると期待できるので、これを継続させたい。 またTeichmuller測地線の漸近性の特性付に関して、Teichmuller測地線と曲面Singular Euclidean構造関係付の難しさ が予想以上であった。この問題解決に期間の延長が必要である。
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Research Products
(3 results)
