2020 Fiscal Year Annual Research Report
Geometric structures on surfaces and representations into Lie groups
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19K21023
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
馬場 伸平 大阪大学, 理学研究科, 准教授 (40822870)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 複素射影構造 / リーマン面の退化 / 指標多様体 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
これまでの本課題の研究全体でお主結果は曲面上の複素射影構造の退化の特徴づけである。複素射影構造は，特に双曲多様体の理想曲界上に現れる構造であるが，本研究課題では一般の非離散も許す表現にある意味での拡張を与え、また非離散特有の現象現象の構成にも成功した。この結果の一部は、別の研究課題であるBers‘ simultanuous uniformization theoremの部分的な一般化に応用することができた。最終年度は，複素射影構造の退化を、さらに応用に関して模索することができ、今後の研究に生かすことが期待できる。
本研究課題で，複素射影構造の変形空間のThurstonによるパラメーター付けについての論文書き、最終年度に最終的なパージョンに仕上げ出版を完了した。この論文では、Thurstonの仕事のサーベーの部分と、それに関連して独自に別証明を与える部分がある。この論文の他の研究者による引用もすでに確認され，Thurtonのパラメター付けの良い参考文献になることが期待できる。
曲面群のPSL(２、C)への離散表現は、三次元双曲多様体と理論と関連して非常に発展した。一方、非離散表現の幾何学は、まだまだ発展途上と言って良い。ホロノミー表現を介し複素射影構造は代数的な対象である曲面群のPSL（２、C）への表現に、幾何的な意味付けができる。この研究課題での結果は、射影構造の退化を理解することで、離散とは限らないホロノミー表現との対応の理解を深めることができた。
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