2020 Fiscal Year Research-status Report
Foundation of magnitude homology and applications
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19K21826
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| Research Institution | Hokkaido University |
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Principal Investigator |
吉永 正彦 北海道大学, 理学研究院, 教授 (90467647)
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2019-06-28 – 2022-03-31
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| Keywords | マグニチュード / マグニチュードホモロジー / ポセット / グラフ |
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| Outline of Annual Research Achievements |
マグニチュードは「距離空間の実質的な点の個数」という位置づけでLeinsterによって導入され、マグニチュードホモロジーはその圏化であるとされている。
マグニチュードホモロジーとポセットの順序複体を関連付ける研究に関する研究論文が国際誌にアクセプトされた。
以前から, 都市工学における公共施設の最適数や配置問題とマグニチュードが直接関係するだろうという予想を持っていた. 同僚の正宗氏の仲介で, 都市工学の専門家である大津晶氏 (小樽商科大) と腰塚武志氏 (筑波大学名誉教授)にマグニチュードの概念の紹介をし, 専門家の意見を聞く機会を得た. 都市工学においてかつて、エントロピーなどの熱力学的な概念を積極的に取り入れていた時期 (数十年前)があり, その頃の研究と関係が深そうということであった. 代わりに都市における曜日ごとの人口動態の定式化などに使えないか? との提案をいただいた. その方向で研究を進めるのは、調査と準備が必要で、本格的に研究を始めるには至っていないが、コロナウイルスの感染者数の曜日ごとのパターンなどがニュースとして取り上げられらるようになるなど、応用上も重要性が感じられ、今後の課題としたい。生物進化や生態ネットワークへの応用を探りつつ調査を継続している。
発散級数の総和法の一つにBorel和という概念がある。Leinster, Meckesらによって考察されている、有限正定値距離空間に関しては、マグニチュードホモロジーのランクからボレル和を使ってマグニチュードが得られることが分かった。
マグニチュードそのものではないが、数え上げ問題のある種の圏化として、学生の吉田氏とポセット間の射の空間の位相を調べる研究を行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
本研究の出発点となった研究論文がアクセプトされ、既にGoogle Scholar上では9件引用されている。この論文がマグニチュードホモロジーの基本文献として認知されていることを意味していると考えている。しかしその後は、研究上の知見は着実に蓄積しているが、研究成果を論文にまとめるまでに至っていない。今年度は、7月に北海道大学で予定していたサマースクール(Recent topics in metric spaces: magnitude and persistent homology. 2021年7月)を中止せざるをえなかったこともあり、研究者との交流も活発に行うことができなかった。
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| Strategy for Future Research Activity |
大学院生の田嶌氏とグラフのマグニチュードに関する議論を進めている。以前金田氏と書いた論文を一般化する形で、グラフに対して、ある単体複体対を構成し、その対のホモロジーとしてマグニチュードホモロジーを記述するという研究が最近行われている(Asao-Izumihara complex). 以前からグラフのマグニチュードホモロジーに対して「対角線性」という性質が、注目を集めている。これは「対角線性」を持つグラフのマグニチュードホモロジーはマグニチュードから計算できるという著しい性質を持つからである。ごく最近、グラフのAsao-Izumihara複体が球面の一点和とホモトピー同値になるとき、そのグラフは対角線性を持つという観察を得ている。これまで知られている「対角線性」がこのメカニズムで得られるのではないかと考えて、研究を進める。
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| Causes of Carryover |
2020年7月に企画していたサマースクールと研究集会が中止となったため次年度使用をすることとなった。可能であれば海外の研究者との交流の機会を今年度企画したい。
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