パーフェクトイド空間を用いたGross-Zagier型公式の研究

2019 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 19K21829
• Research Institution: The University of Tokyo
• Principal Investigator: 三枝 洋一 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (70526962)
• Project Period (FY): 2019-06-28 – 2022-03-31
• Keywords: パーフェクトイド空間 / Gross-Zagier型公式 / 志村多様体 / Rapoport-Zink空間 / 数論的交叉数

Outline of Annual Research Achievements

Gross-Zagier公式とは，モジュラー曲線上のHeegner点に対し，その数論的な複雑さを測る「自己高さペアリング」という値を「保型L関数の微分係数」という解析的な量によって記述する，非常に興味深い等式であり，楕円曲線に対する有名な未解決問題であるBSD予想にも応用されている．パーフェクトイド空間の理論を用いることで，この公式を高次元のモジュラー多様体に拡張し，BSD予想の一般化であるBeilinson-Bloch-Kato予想に貢献することが本研究課題の主目的である．
今年度は，Wei Zhangによって数論的基本補題が解決されるという大きな動向があった．本研究課題の鍵を握る「無限レベル版の数論的基本補題」の確立のためには，Wei Zhangの手法を正確に把握することが不可欠であると考えられたため，当初の予定を変更して，Wei Zhangの論文の検討を行った．また，American Institute of Mathematicsで開催されたワークショップ“Geometric realizations of Jacquet-Langlands correspondences”への参加を通して，ユニタリ型志村多様体のTateサイクルに対するTian, Xiao, Zhuらの研究を一般化する研究に取り組んだ．このTian, Xiao, Zhuらによる研究は，Liu-Tian-Xiao-Zhang-Zhuによる，Rankin-Selbergモチーフに対するBeilinson-Bloch-Kato予想の研究においても有効に用いられているため，それを一般化することは，本研究課題を進展させるために有効であると考えられる．一般化の糸口は掴んだものの，具体的な成果はまだ得られていない状況である．

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

今年度は，Wei Zhangによって数論的基本補題が解決されるという大きな動向があった．Wei Zhangの手法は，既存のものと大きく異なる斬新なものであるため，それを理解することは本研究の遂行に不可欠であると判断して，当初の予定を変更して，Wei Zhangの論文の検討を行った．そのため，本年度に行う予定であった研究が遅れることとなった．

Strategy for Future Research Activity

Wei Zhangの手法を十分に理解できたとは言えないため，引き続き検討を行い，それをもとに，「無限レベル版の数論的基本補題」の定式化の方向性を探る．また，本年度の研究によって，ユニタリ型志村多様体のTateサイクルに対するTian, Xiao, Zhuらの研究を一般化するという，新しい方向性を見出すことができた．この内容を研究に組み込むことで，Gross-Zagier型公式に対し，より多角的なアプローチをとることが可能になると考えている．

Causes of Carryover

今年度は，Wei Zhangによって数論的基本補題が解決されるという大きな動向があった．当初の予定を変更してWei Zhangの論文の検討を行ったため，予定していた研究が遅れることとなり，それに伴って，計画していた情報収集も遅れることとなった．
今年度に計画していた情報収集は，国内外への出張という形で，翌年度以降に行う予定である．