2022 Fiscal Year Research-status Report

パーフェクトイド空間を用いたGross-Zagier型公式の研究

Research Project

Project/Area Number	19K21829
Research Institution	The University of Tokyo
Principal Investigator	三枝洋一東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (70526962)
Project Period (FY)	2019-06-28 – 2024-03-31
Keywords	パーフェクトイド空間 / Gross-Zagier公式 / 志村多様体 / Rapoport-Zink空間 / 数論的交叉数
Outline of Annual Research Achievements	Gross-Zagier公式とは，モジュラー曲線上のHeegner点に対し，その数論的な複雑さを測る「自己高さペアリング」という値を「保型L関数の微分係数」という解析的な量によって記述する，非常に興味深い等式であり，楕円曲線に対する有名な未解決問題であるBSD予想にも応用されている．パーフェクトイド空間の理論を用いることで，この公式を高次元のモジュラー多様体に拡張し，BSD予想の一般化であるBeilinson-Bloch-Kato予想に貢献することが本研究課題の主目的である．今年度は，前年度に引き続き，局所志村多様体（モジュラー多様体のp進類似）のある意味での一般化にあたる局所シュトゥカのモジュライ空間に注目し，その数論的交叉数に関する成果を得ることを目指して研究を進めた．しかし，コロナウイルス感染症の影響による研究の遅れを挽回するには至らず，有意義な成果を得ることはできなかった．
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 4: Progress in research has been delayed. Reason 昨年度までのコロナウイルス感染症の影響により，海外で進展中の研究に関する情報収集が難しい状況が続いていた．今年度もその遅れを挽回することができず，有意義な成果を挙げることができなかった．
Strategy for Future Research Activity	来年度は今年度よりも海外渡航が容易になるため，複数回の海外渡航を行い，専門家との研究討論を行う予定である．また，昨年度と今年度は局所シュトゥカのモジュライ空間を中心に研究を行ってきたが，進展を得るのが難しそうであるため，2019年度に着想した，ユニタリ型志村多様体のTateサイクルに対する研究を再検討するつもりである．
Causes of Carryover	新型コロナウイルス感染症の影響は収まってきたものの，海外への渡航が完全に自由に行えるようになったわけではなく，また，海外から研究者を招聘して対面で研究集会を行うことも難しい時勢であったため，次年度使用額が発生した．次年度は今年度よりも自由に海外渡航ができる見通しであるため，海外出張を中心とした旅費に使用して，今年度に行えなかった情報収集や研究討論を行う予定である.