2021 Fiscal Year Research-status Report
漸近双曲性とYoccoz's puzzleを用いたPalis予想解決への挑戦
| Project/Area Number |
19K21835
|
|---|
| Research Institution | Keio University |
|---|
Principal Investigator |
高橋 博樹 慶應義塾大学, 理工学部(矢上), 准教授 (00467440)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2019-06-28 – 2023-03-31
|
| Keywords | 力学系 / エノン写像 / 漸近双曲性 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
エノン写像の分岐問題を、Yoccozのパズルを用いて解析することが本研究開始当初の目標であった。エノン写像の分岐パラメーター通過後のダイナミクスの解析は非常に難しいため、エノン写像を直接考察するのではなく、その一次元モデルである単峰写像や、記号モデルである可算マルコフシフトが生成する力学系を詳細に考察し、エノン写像の解析のための手がかりを得ることを引き続き試みた。当該年度は、大偏差評価を通じた周期軌道の漸近分布の解析に重点を置き、(1) 決定論的力学系と (2) ランダム力学系の両方において、周期軌道の等分布定理を得ることに成功した。これらの結果をプレプリントにまとめ、学術雑誌に投稿中である。以下で、より詳しく説明する。
(1) 無限回繰り込み可能な単峰写像の周期軌道から自然に構成される確率測度の列は大偏差原理を満たさないことを指摘し、確率測度の列を修正して定義すれば大偏差原理が成り立つ場合があることを示した。これをもとに、周期軌道の漸近分布が幾何ポテンシャルに対する平衡測度の凸結合に一致することを示した。
(2) ランダム力学系においては、通常の意味での周期軌道を定義することができない。このため、Buzzi, Ruelleに習ってランダム力学系における周期軌道の類似物を定義し、マルコフ分割を持つ有限個の一次元写像から生成される独立同分布ランダム力学系の周期軌道の漸近分布が確率1で定常測度に一致することを証明した。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
エノン写像の大域分岐構造の解析への手がかりを得るために始めた大偏差原理、熱力学形式、マルチフラクタル解析などに基づくエルゴード理論的な研究がそれら自身で大きく発展し、いくつかの有望な成果が得られている。これらの成果を本格的にエノン写像の解析に繋げることはまだできていないが、そのための手がかりは可算マルコフシフトの解析などを通じて徐々に得られつつある。よって本研究を総合的に判断し、「おおむね順調に進展している」とした。
|
| Strategy for Future Research Activity |
最初の分岐パラメーターでのエノン写像の周期軌道の等分布定理を導くことを視野に入れつつ、これまでに得た大偏差評価に基づく周期軌道の漸近分布に関する結果をより一般化することを目指す。具体的には、無限回繰り込み可能でない単峰写像、Gibbs測度を持たない可算マルコフシフトの周期軌道の漸近分布を考察する。コロナ禍がネックだが、状況が許せば国内外の出張を積極的に行い、関連分野の有力研究者との議論を重ねる。
|
| Causes of Carryover |
コロナ禍により、研究開始当初に予定していた国内外の出張のほぼ全てをキャンセルせざるを得なかったため、次年度使用額が生じた。今後の状況が許せば、国内外の研究集会への参加、研究打ち合わせなどの出張旅費に用いる予定である。
|
