実解析と数値計算の手法による流体運動の振る舞いの解明及び数学理論の構築

2021 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 19K23398
• Research Institution: The University of Tokyo
• Principal Investigator: 許 本源 東京大学, 大学院数理科学研究科, 特任准教授 (40844816)
• Project Period (FY): 2019-08-30 – 2023-03-31
• Keywords: Navier-Stoke方程式 / 竜巻型旋回流 / 渦度

Outline of Annual Research Achievements

非圧縮性粘性流体運動を記述する基礎方程式であるNavier-Stokes方程式に関わる重要な未解決問題の一つ「時間大域的可解性」はほかの問題と比べ純粋数学のみならず、数値計算及び物理現象とも密接に関係しています。本研究はNavier-Stokes方程式の解の正則性理論解析及び流体物理実験の結果をもとに、局所的な構造の数値シミュレーションを行いました。本研究の目的は実際に起きている現象への応用を意識しつつ数値計算で流体運動の解の挙動（特に渦の振る舞い）を考察すること及び数学理論の構築であります。主に「幾何的正則性判定法」など解の正則性及び関連問題の数学解析を行い、その結果を基に数値計算を展開し、手法を構築し成果を上げます。もっと詳しく述べると、Fefferman氏が３次元全空間で「渦度の方向が空間変数に対して、一様に連続であれば、たとえ渦度が大きくても爆発しない」という幾何的正則性判定法と言われる判定法を提唱しました。その幾何的正則性判定法の数学理論を基に、竜巻型旋回流（旋回を伴う双曲型流れ）を有限要素法で様々な振る舞いを考察しました。
竜巻型旋回流の数値シミュレーションについては軸対称及び非軸対称な初期速度、軸対称及び非軸対称領域など様々な設定の下で旋回によって形成された圧力分布に着目して、軸対称の場合及び非軸対称の場合に起こる現象の違いを観察できました。地形がどのように旋回の流れに影響を与えているかという問題の解明に、物理及び工学の分野からの手法と異なるアプローチができました。さらに、初期速度及び領域、境界の形状それぞれがどのように速度及び渦に影響を与えているかについても考察しました。

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

申請時に提案したプロジェクトの中、「竜巻型旋回流の局所的な構造の考察」において軸対称と非軸対称両方進展がありました。しかしながら解の正則性については「有界領域で幾何的正則性判定法」を構築できたにもかかわらず、外部領域などについてはまだ成果がありません。一方、竜巻型旋回流については軸対称の場合により合理的な初期速度の考案及び初期速度による影響と安定性などについての考察ができました。非軸対称の場合にも対応できるか検討しているところです。

Strategy for Future Research Activity

本研究は数学解析及び数値計算を統合的に協働し真の力を発揮することで竜巻型流を考察することが目的であります。そのため、シミュレーションは実現象に合わせ、合理性を考慮し、数学解析ができるような初期速度を導入することがこれからとても重要な課題となります。今年度は引き続き物理の文献より合理的な初期速度についての考察を行い、これから検証しながら導入する予定です。
数学解析の方について、「幾何的正則性判定法」のアプローチは圧力評価の導出が証明のカギになっていると思われます。一方、竜巻型旋回流の研究において、低圧力領域の形成、圧力領域の変化など圧力の分布を考察し、違うシチュエーションに置いての圧力の構造を更に理解することが重要なキーとなっています。これから数学理論の解析及び数値解析両方とも圧力の構造に対する考察を進みたいと思います。

Causes of Carryover

新型コロナウイルスの影響によって国内外の研究打ち合わせ、成果発表出張は見送りました。そのため、次年度の使用額が生じました。
翌年度の使用計画についてですが、科学シミュレーションに必要な備品、消耗品、参考書類などの購入及び新型コロナウイルスが落ち着いてから研究成果の発表及び研究打ち合わせするための出張経費などに使う予定です。他には論文投稿、印刷するための経費、新型コロナウイルスに対する政府、大学の政策に合わせ、自宅研究、遠隔打ち合わせをより効果的に行うための機材なども想定しています。