2021 Fiscal Year Research-status Report
Mathematical analysis of fluids with electrical effects
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19K23408
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| Research Institution | Gifu University |
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Principal Investigator |
梶原 直人 岐阜大学, 工学部, 助教 (40843131)
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2019-08-30 – 2023-03-31
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| Keywords | 放物型発展方程式 / 最大正則性理論 / ストークス方程式 / 二相流体 / 自由境界問題 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は自由境界問題の解析によく用いられる最大正則性理論の研究を行った. 最大正則性に関して, 楕円型方程式のAgmon-Douglis-NirenbergのLp評価や, 放物型方程式のDenk-Hieber-PruessのLpLq評価がよく知られている. 私は本年度放物型方程式において, 外力に高次可微分性を課して最大正則性を示し, 論文が出版された. Stokes方程式に関しては領域の形状や境界条件毎に様々な最大正則性が知られているが, 私は本年度Dirichlet, Neumann, Robinいずれの境界条件においても最大正則性を示すことができ, 論文投稿中である. 本手法は従来のものよりも計算を簡略化することができ, ひとつの論文で統一した手法を提案することができた. レゾルベント評価とともに示すことができる本手法は他の方程式にも当てはめることが可能であると期待される. 実際, 二相流体のStokes方程式にも当てはめ, 論文投稿中である. さらに別の問題においてもうまくいくことを確認しつつある. 本来の二相流体の電気の影響を加味したモデルにおいても, モデリングの観点から理解が進みつつあり, 線形理論を改めて構築し, 非線形問題に応用していきたいと考えている.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
自由境界問題についての新たな解析手法を提案するという大きな目標を掲げていたが, 結局従来用いられていた最大正則性理論のアプローチを取ることにした. 今までの先行研究において最大正則性理論を考える際は, 解表示や微分の評価など計算が煩雑であった. しかし私が今回構築した理論においては, 整理された解表示を作り出し, 不等式評価は有界性の確認のみで済み, 計算量がとても削減される. 実際, Dirichlet, Neumann, Robin境界条件を同様に扱うことができ, 二相流体の問題にも当てはめることができた. 一方, 電気の影響を組み込むことはこれからの仕事であり, 線形理論はもう少し, 非線形問題及びその解の挙動の研究も, 現在の研究状況とはまだ距離があるといった状況である.
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| Strategy for Future Research Activity |
線形理論を構築した後, 自由境界問題や非線形問題は通常知られている領域変形の理論を当てはめる. 最終目標として解の挙動の解析であるので, 方程式をNavier-Stokes方程式が難しければStokes方程式, 有界領域が難しければ球で考えるなど, 解析しやすい状況からまずは考えてみる. 研究費の使用が今までほとんどできていなかったので, 積極的に研究の議論をしに研究者の元へ伺ったり, 招聘したいと考えている.
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| Causes of Carryover |
コロナ禍で思うように出張ができなかった. 次年度は改めて出張を頻繁に行い, 様々な研究者と議論を行いたいと考えている.
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