2020 Fiscal Year Research-status Report
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19K23409
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| Research Institution | Tokyo University of Science |
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Principal Investigator |
大森 源城 東京理科大学, 理工学部数学科, 助教 (20843303)
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| Project Period (FY) |
2019-08-30 – 2022-03-31
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| Keywords | 写像類群 / 向き付け不可能曲面 / Dehn twist / crosscap slide / ハンドル体群 / 群表示 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
曲面の写像類群とは，その曲面の自己同相写像のアイソトピー類からなる群である．本年度は，交付申請書の「1 研究目的、研究方法など」に記載した研究（B）の「向き付け不可能曲面の写像類群の有限表示に関する研究」に取り組んだ．
Lickorish によって，向き付け不可能曲面の写像類群はDehn twist とcrosscap slide によって生成されることが示されている．全てのDehn twist たちによって生成される向き付け不可能曲面の写像類群の部分群を，ツイスト部分群と呼ぶ．ツイスト部分群は，写像類群の指数2部分群となる非常に大きい写像類群の部分群である為，写像類群の群構造を研究する上で非常に重要な群である．本年度は，向き付け不可能曲面の写像類群の関係式の中でも，特にDehn twist の間の関係式について考察する為，ツイスト部分群の無限表示に関する研究を行った．
今年度行った研究により，ツイスト部分群簡明な関係式のみを持つ無限表示を構成することが出来た．この無限表示は，生成元を非自明なDehn twist 全体とし，関係式をブレイド関係式，2-チェイン関係式，そしてランタン関係式とするものである．ツイスト部分群の有限表示は曲面の境界成分数が1以下の時にStukow によって与えられているが，この表示は複雑な関係式を含んでいる．今回得られた無限表示は，Gervais による有向曲面の写像類群の無限表示の類似となっており，その意味でも非常に簡明な無限表示となっている．今回得られた結果について論文に纏め，現在投稿中である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
ツイスト部分の無限表示を求めたことで，向き付け不可能曲面の写像類群の関係式に関する理解が深まった．また，今回与えた無限表示の簡明さから，写像類群やツイスト部分群の有限表示に関する応用が期待される．
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| Strategy for Future Research Activity |
向き付け不可能曲面の写像類群の簡明な関係式を持つ有限表示を求める為に，これまでに行った写像類群の無限表示の関係式に関する考察を見直し，その考察が有限個の生成元の間の議論に帰着できないかを考える．もし難しそうな場合はこの議論をツイスト部分群に置き換えて考察する．
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルスの影響で研究集会や学会，研究打ち合わせが全て中止かオンライン開催となり，出張が出来なくなった為．
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