2021 Fiscal Year Annual Research Report
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19K23409
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| Research Institution | Tokyo University of Science |
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Principal Investigator |
大森 源城 東京理科大学, 理工学部数学科, 助教 (20843303)
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| Project Period (FY) |
2019-08-30 – 2022-03-31
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| Keywords | 写像類群 / 周期的写像 / Dehn twist / 最小生成系 / 対称的写像類群 / hyperelliptic involution |
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| Outline of Annual Research Achievements |
写像類群とは曲面の向きを保つ微分同相写像のアイソトピー類からなる群である．写像類群は，曲面をファイバーとする多様体のファイバー構造を介して，様々な次元の多様体のトポロジーと密接に関連している．特にその中でも低次元多様体論において重要な役割を果たしており，その例として，写像類群の代表的な元であるDehn twist による関係式が，シンプレクティック4 次元多様体が許容するファイバー構造である，Lefschetz ペンシルとの対応を持つ．このような理由から，写像類群やその部分群の生成系や関係式に関する研究は，それらの分野の発展に繋がる非常に重要な研究である．
曲面上の微分同相写像で，有限回合成すると恒等写像になるものを周期的写像という．周期的写像の定義から，周期的写像の有限回合成が写像類群の関係式を与える為，その周期的写像がどのようなDehn twistの積で表せるかや，その周期的写像が生成する部分群の正規化群がどのような群構造を持っているかという問題は，低次元トポロジーの発展において非常に重要な問題である．
Ghaswala氏とWinarski氏によって定義されたBalanced superelliptic (以下BS)回転と呼ばれる周期的写像がある．この周期的写像は，ある意味でhyperelliptic involution の一般化となっており，hyperelliptic involution の周期が2であるのに対し，BS回転の場合は任意の3以上の自然数kに対して，kを周期とするBS回転を定義することが出来る．BS回転が生成する部分群の正規化群をBS写像類群と呼ぶ．
本年度の研究において，BS写像類群が3元で生成されるという事を証明した．この生成系は，ある一部の場合を除いて最小のものとなっている．また，BS回転のDehn twistによる積表示も構成することが出来た．
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