2021 Fiscal Year Research-status Report
Studies on limit theorems for random walks on covering graphs
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19K23410
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| Research Institution | Shizuoka University |
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Principal Investigator |
難波 隆弥 静岡大学, 教育学部, 講師 (20843981)
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2019-08-30 – 2023-03-31
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| Keywords | 被覆グラフ / 結晶格子 / 離散幾何解析 / 中心極限定理 / 多次元多重オイラー積 / ランダムウォーク / 複合ポアソン分布 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度も引き続き、交付申請書に記載した目的、計画に沿って研究を行い、以下の成果を得た。
(1) 前年度に引き続き青山崇洋氏(岡山理科大学)および当時大学院生の大田絋己氏との共同研究を進めた。前年度に得られていたRiemannゼータ分布の特性関数の原点近傍における詳細な挙動を基礎にして、Riemannゼータ分布の畳込に関する局所中心極限定理を証明し、主要項をRiemannゼータ関数の特殊値を用いて具体的に与えた。
(2) 青山崇洋氏(岡山理科大学)との共同研究の中で我々が導入した結晶格子上の2種類の多次元多重ゼータ関数を用いて、引き続きその確率論への応用について調べた。その結果、1歩の分布のサポートが有限なランダムウォークの多くは多次元新谷ゼータ関数が生成するランダムウォークとみなせること、そして1次独立な方向への無限の跳躍を許すようなランダムウォークはある種の多次元Euler積が生成するランダムウォークとみなせることを解析的整数論におけるクロネッカーの近似定理等を用いて示した。
(3) 赤堀次郎氏(立命館大学)およびその大学院生である仙葉隼裕氏と、Weierstrassの近似定理の構成的な証明において有名なBernstein作用素の一般化であるSzasz-Mirakyan作用素のiterationに対応するランダムウォークのdiffusion approximationについて確率論の視点から考察した。Bernstein作用素の場合と比較してより繊細な評価が求められたが、Szasz-Mirakyan作用素のiterationに関する極限定理の確率論的な証明を与えることに成功した。
特に(1), (2)については、論文の形へ整理し、すでに学術誌へ投稿中である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Rimemannゼータ分布の畳込の漸近挙動および結晶格子上の多次元多重ゼータ関数とランダムウォークの関係について、一定の成果が得られ論文の形に整理することができたため、本年度はおおむね順調に進展していると評価することができる。一方で新型コロナウイルスの感染拡大により予定していた渡航が叶わず、可解群を被覆変換群とする被覆グラフ上のランダムウォークについては研究があまり進展していない。加えて本研究課題を次年度にまで繰り越す運びとなったが、引き続き文献調査や当該分野に精通する研究者とのオンライン交流などを行うことで極限定理の確立へ向けた糸口をつかみたい。
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| Strategy for Future Research Activity |
一般に多次元離散分布の畳込は陽に記述することが難しく、その漸近挙動の性質に至ってはまだ解明されていないことが多いと思われる。そこで本年度に得られたRiemannゼータ分布の畳込の漸近挙動で培った手法を基礎に、その多次元化および多重化を確立することを目指す。また結晶格子上のさまざまなランダムウォークを多次元多重ゼータ関数と結びつけることで、そのスケール極限としてBrown運動とは限らない確率過程が捉えられないか考察を進めたい。さらに可解群を被覆変換群とする被覆グラフ上のランダムウォークについては、次年度は渡航が可能になるかまだ先が見えない部分があるものの、引き続き文献調査や専門家とのオンライン交流などを通じて研究を進める予定である。
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| Causes of Carryover |
新型コロナウィルス感染拡大により大幅な研究計画の変更を行ったため次年度使用額が生じた。元々の計画ではコーネル大学(アメリカ合衆国)への出張を予定していたが、計画を変更して数カ所の国内出張(岡山理科大学, 京都大学等)を行う。特に多重ゼータ関数の確率論への応用に関する研究打合せ並びに確率論シンポジウム参加旅費等に充当する予定である。
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