2020 Fiscal Year Research-status Report
Diffeomorphism and homeomorphism groups of 4-manifolds and gauge theory for families
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19K23412
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
今野 北斗 東京大学, 大学院数理科学研究科, 助教 (20845614)
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| Project Period (FY) |
2019-08-30 – 2022-03-31
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| Keywords | Seiberg-Witten方程式 / Floer安定ホモトピー型 / ゲージ理論 / 4次元多様体 / 微分同相群 / 同相群 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
4次元多様体の滑らかな族に対するSeiberg-Witten方程式から得られる制約を研究した．前年度までは閉4次元多様体の族に対する考察を行っていたが，本年度からは境界付き4次元多様体の微分同相群と同相群の比較の研究に着手した．
本研究課題の開始直前に，Donaldsonの対角化定理およびDonaldsonの定理B,Cと呼ばれる制約の族に対する対応物をBaraglia氏が証明した．これは閉4次元多様体の微分同相群と同相群の比較に強力な応用を持っていた．本年度は，谷口正樹氏との共同研究で，Baraglia氏の結果の境界付き4次元多様体版を確立し，論文にまとめarXivで公開・学術誌に投稿した．証明にはManolescuによるSeiberg-Witten Floer安定ホモトピー型を用いる．Baraglia氏の結果の証明にはBauer-Furuta不変量の族版が用いられていたが，我々は相対Bauer-Furuta不変量の族版を定義し，そこから情報を引き出した．相対Bauer-Furuta不変量の受け皿にSeiberg-Witten Floer安定ホモトピー型が現れる．
応用として，境界付き4次元多様体であって，その微分同相群から同相群への包含写像が弱ホモトピー同値でない例を大量に検出することができた．この結果は境界の3次元多様体のFroyshov不変量と呼ばれる不変量や，Manolescuによるその変種であるα,β,γと呼ばれる不変量の言葉で書かれるものである．Froyshov不変量やα,β,γは，境界付き4次元多様体の交叉形式への制約や三角形分割予想への応用が知られていたが，微分同相群へ応用できることは新しい．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
境界付き4次元多様体の微分同相群と同相群の比較は未開拓の領域だったが，その方面の最初の結果が，非常に豊富な具体例を伴って得られた．
一方，この研究で扱った境界付き4次元の族は，その境界に制限して現れる3次元多様体の族は自明なものである．今後は境界の3次元多様体の族も非自明な状況を扱いたいと考えているが，そこまでは本年度中に到達しなかった．
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| Strategy for Future Research Activity |
3次元的な対象（例：その上の群作用，それをファイバーとするファイバー束）の4次元への拡張問題に取り組みたいと考えている．これは本年度行った研究と相補的な方向性である．
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| Causes of Carryover |
コロナ禍のため，多数の出張がキャンセルになったため，次年度使用額が生じてしまった．次年度状況がより改善されてくれば，出張が生じる可能性もあると考えている．そうでない場合は，研究環境整備に充てる予定である．
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