2010 Fiscal Year Annual Research Report
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20340008
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| Research Institution | Hokkaido University |
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Principal Investigator |
秋田 利之 北海道大学, 大学院・理学研究院, 准教授 (30279252)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
大本 亨 北海道大学, 大学院・理学院研究院, 准教授 (20264400)
吉田 知行 北海道大学, 大学院・理学院研究院, 教授 (30002265)
渡邉 忠之 北海道大学, 大学院・理学院研究院, 助教 (70467447)
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| Keywords | トポロジー / 特性類 / コホモロジー / 分類空間 / 平坦束 / Mackey函手 |
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| Research Abstract |
有限群の線型表現に対し、離散群の分類空間上に平坦束(flat bundle)が定まり、平坦束の特性類は有限群のコホモロジー類を与える。また、有限群の多様体への作用に対し、多様体の接束のBorel構成(ホモトピー余極限)の特性類のGysin準同型(push-forward)による像として得られる同変特性類も有限群のコホモロジー類を与える。本年度は昨年度に引き続き、有眠群の曲面への作用から定まるコホモロジー類(Mumford-森田-Miller類、Hodge束のChern類など)について研究した。
1.与えられた有限群Gの曲面への作用の全体は直和によりモノイドをなす。そのモノイドにGrothendieck構成(群完備化)を施し適切な同値関係で商を取ることにより、作用の「局所的な」情報を代数的に記述する可換群を導入した(仮にB(G)と書く)。B(G)は昨年度に導入した可換群A(G)を改良したもので、A(G)と異なりB(G)は有限生成となることを証明した。更にホモロジー表現の局所的な因子はA(G)からGの表現環への写像を定めるが、この写像がMackey函手の自然変換であることを示した。
2.前項のA(G)の性質とIbMadesnによる結果をあわせることにより、有限群の曲面への作用に付随するMumford-森田-Mitler類とホモロジー表現の局所的な因子のNewton類の関係を記述する公式(-局所的なRiemann-Roch公式)を証明した。
3.本研究と関連する分野は多岐にわたる。そのような関連する分野の研究者との情報交換と議論を行うため、東京都市大学におけるシンポジウム「代数幾何とホモトピー論の新展開」を共同で主催した。
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