2010 Fiscal Year Annual Research Report
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20340020
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| Research Institution | Chiba University |
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Principal Investigator |
新井 敏康 千葉大学, 大学院・理学研究科, 教授 (40193049)
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| Keywords | 数学基礎論 |
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| Research Abstract |
$\Pi^{0}_{n}$-論理式で自然数上で定義されるnon-monotonic inductive definitionにより、$\Pi_{n+1}$-reflecting ordinalsの集合論の証明論に十分であることが示されている自然数上の帰納的順序数体系のwellfoundednessを証明した。
また$\Pi_{n+1}$-reflecting ordinalsの集合論でもその自然数上の帰納的順序数体系のwellfoundednessが証明できることを示した。
これによって当該の自然数上の帰納的順序数体系が$\Pi_{n+1}$-reflecting ordinalsの集合論の証明論に必要でもあることが示された。
後者の$\Pi_{n+1}$-reflecting ordinalsの集合論での証明は、$\Pi_{i+1}$-reflectingであれば、$\Pi_{i}$-recursively Mahlo operationsが超限的に繰り返せるという事実、そしてこれから$\Pi_{n}$-reflbctingであれば、そこで$\Pi{2}$-recursively Mahlo operationsがある高さのtower上の順序に沿って繰り返せることによる。順序そのものは$\Sigma_{1}$で定義されるが、reflecting ordinalsではこれが集合ではなくクラスのなってしまう。
さらに直観主義自然数論上にあるかたちの正論理式により定義される不動点の存在を許す公理系がある種の論理式に対しては直観主義自然数論と証明可能性において同値である、すなわち保存拡大になることを示した。証明はカット消去によるが、その証明はKleene-Brouwer順序に沿った帰納伝によった。
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