| Research Abstract |
過年度の研究成果として,完全2部グラフをマイナーとして含まないグラフに関して,平面グラフの研究の極めて自然な一般化となる結果を示した.それは,K_3,tをマイナーとして含まないグラフにおける最大次数を抑えた全域木の存在に関するものである.この結果には,タフネスと呼ばれるグラフの不変量が深く関係している.タフネスとはグラフからある頂点集合を取り除いたときにできる連結成分数と取り除いた頂点数との比に関するものである.タフネスの概念は,グラフのハミルトン性と関連付けられて定義された量であるが,ハミルトン性に類する多くのグラフの性質で顔を出す不変量である.K_3,tをマイナーとして含まない3連結グラフが,一定値以上のタフネスをとることが示され,このことが種々の良い構造の存在を示唆している.まだ多くの構造については未解決であるが,ハミルトン閉路の緩和概念であるk-歩道の存在や,プリズムハミルトン性など,今後の研究対象の幅が広がる成果となった.
禁止マイナーに関する研究と関連して,禁止部分グラフに関する研究の再検討については,多くの成果が上がった.とくに,タフネスと禁止部分グラフの関連についての研究として,どのような禁止部分グラフの組合せがタフネスを押し上げるのか,ということに着目し,そのような禁止部分グラフの組合せのすべて決定した.この結果は,これまでの,完全マッチングを保証する禁止部分グラフ,クローフリーとなるための禁止部分グラフ,スターフリーとなるための禁止部分グラフに関する研究の流れに沿うものであり,禁止部分グラフによる特徴付けが完全になされているような数少ないグラフの性質の一つにタフネスがある,という興味深い結果となっている.
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