2009 Fiscal Year Annual Research Report
正準変換と比較原理の手法による分散型方程式の解の諸性質の解明
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20340029
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| Research Institution | Nagoya University |
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Principal Investigator |
杉本 充 Nagoya University, 多元数理科学研究科, 教授 (60196756)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
三宅 正武 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (70019496)
菱田 俊明 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (60257243)
津川 光太郎 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 准教授 (70402451)
加藤 淳 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 准教授 (00432237)
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| Keywords | 正準変換 / モジュレーション空間 / 分散型方程式 / 比較原理 / シュレデインガー方程式 / 平滑化作用 / 擬微分作用素 |
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| Research Abstract |
この研究は、偏微分方程式をその表象の座標変換により標準形へと変換してから考察する百典的手法(正準変換)と、二つの偏微分方程式の表象の比較からそれぞれの解の評価式を比較する新しい手法(比較原理)を組み合わせることにより、解に対する様々な評価式を導きかつ偏微分方程式論の諸問題にそれらを応用することを試みるものである。これに関して、本年度は特に以下の課題に取り組んだ。これらの研究はまだ途上にあり,最終的成果に関しては今後の進展に期待したい.
1.標準形への変換を実現する大域的なフーリエ積分作用素の構成法の発見に向けての試金石として、M. Ruzhansky氏(Imperial College London)との共同研究により,双曲型方程式に対する初期値問題の時間大域的な解の構成法を研究した。その際,アイコナル方程式の大域的な解の構成が最も困難な部分であるが、これに対してさまざまなアイデアでアプローチした。
2.剰余項をともなう標準形に対する評価式の導出に向けてのテストケースとして、ポテンシャル項を持つ分散型方程式に対する平滑化評価式をスペクトル理論を用いて考察した。特にM. Ben-Artzi氏(Hebrew University)との共同研究により、スペクトルが比較できる二つのポテンシャルに対しては平滑化評価式が比較できるという比較原理の理論整備につとめた。
3.L^p-空間においてはフーリエ積分作用素が有界ではないために、その替わりとして、相空間において均質的な取り扱いをするモジュレーション空間に着目した。この空間は比較的新しく提唱されたものであり、その基本的性質は未だ完全には解明されていない。今年度は冨田直人氏(大阪大学)とモジュレーション空間の基礎理論(特にそこでの非線形作用)についての研究を行い、さらにB. Wang氏(北京大学)とはその非線形問題への応用に関する研究を行った。
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