2011 Fiscal Year Annual Research Report
正準変換と比較原理の手法による分散型方程式の解の諸性質の解明
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20340029
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| Research Institution | Nagoya University |
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Principal Investigator |
杉本 充 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (60196756)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
菱田 俊明 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (60257243)
津川 光太郎 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 准教授 (70402451)
加藤 淳 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 准教授 (00432237)
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| Keywords | 正準変換 / モジュレーション空間 / 波動方程式 / 比較原理 / 平滑化効果 / シュレディンガー方程式 / 時空間評価式 / 分散型方程式 |
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| Research Abstract |
この研究は、偏微分方程式をその表象の座標変換により標準形へと変換してから考察する古典的手法(正準変換)と、二つの偏微分方程式の表象の比較からそれぞれの解の評価式を比較する新しい手法(比較原理)を組み合わせることにより、解に対する様々な評価式を導きかつ偏微分方程式論の諸問題にそれらを応用することを試みるものである。これに関して、本年度は特に以下の課題に取り組んだ。これらの研究はまだ途上にあり、最終的成果に関しては今後の進展に期待したい。
1.ウィーナー・アマルガム空間とソボレフ空間との間における包含関係の決定
2.分散型方程式の解の平滑化評価式における最良定数の決定
課題1に関しては、相空間において均質的な取り扱いをするモジュレーション空間とソボレフ空間との包含関係を小林政晴氏との共同研究により完全に決定しているが、モジュレーション空間の派生物であるウィーナー・アマルガム空間に対しても引き続き同種の考察を行った。この研究を通じて、ウィーナー・アマルガム空間がモジュレーション空間に比べてかなり異質な空間であることが次第に明らかになってきている。課題2に関しては、シュレディンガー方程式に対するある特別のタイプの平滑化評価式におけるB.Simonの与えた最良定数が知られていたが、N.Bez氏との共同研究により、一般のタイプの平滑化評価式に対してもその最良定数を決定するとともに、最良を実現する関数の存在・非存在に関するひとつの判定法を与えることができた。類似の研究はこれまでには知られておらず、ここでの成果はかなり独創的であるとともに、今後の発展・応用も大いに期待される。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
ここまでの成果として、モジュレーション空間に関する基礎理論が概ね完成し、正準変換の方法による解の評価式の導出へ向けての最終段階へと到達することができた。またその応用として、シュレディンガー方程式の平滑化評価式に関する成果が少しずつ上がっており、今後のさらなる発展が大いに期待される。
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| Strategy for Future Research Activity |
ここまでは、特にに礎理論に関する部分において順調に研究が進展してきているが、計画当初に掲げた応用課題のうち、比較的進行が遅れている「非線形分散型方程式の初期値問題における時間大域解の考察」および「変数係数分散型方程式の解の一意接続性」に関する研究にもさらなる勢力を注ぎ込み、最終的な成果を目指したい。
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